Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y =ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．點(diǎn)P、Q分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P、Q同時(shí)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0<t<2).

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)△PBQ的面積為S ，當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積最大，最大面積是多少？

（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）y=x2x3；（2）當(dāng)t=1時(shí)，S△PBQ最大=.；（3）當(dāng)t的值是秒或秒或秒時(shí),△CPQ為等腰三角形.

【解析】（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)a、b的解析式，通過解方程組求得它們的值；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．利用三角形的面積公式列出S△PBQ與t的函數(shù)關(guān)系式S△PBQ=-（t-1）2+．利用二次函數(shù)的圖象性質(zhì)進(jìn)行解答；

（3）分為三種情況：①當(dāng)PB=BQ，②當(dāng)PQ=BQ，③當(dāng)PQ=PB進(jìn)行討論,

(1)把點(diǎn)A(2,0)、B(4,0)分別代入y=ax2+bx3(a≠0)，得

解得a=，b=

所以該拋物線的表達(dá)式式為：y=x2x3

(2)由題意可知：AP=3t，BQ=t.

∴PB=63t.

由題意得,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3).

在Rt△BOC中,BC=.

如圖1，過點(diǎn)Q作QH⊥AB于點(diǎn)H.

∴QH∥CO，

∴△BHQ∽△BOC

∴,即

∴HQ=t.

∴S△PBQ=PBHQ= (63t) t=t2+

t= (t1)2+.

∴當(dāng)t=1時(shí)，S△PBQ最大=. （）

答：運(yùn)動(dòng)1秒使△PBQ的面積最大,最大面積是；

（3）分為三種情況：①當(dāng)PB=BQ時(shí)，即63t=t，解得t=

當(dāng)t=秒，△BPQ是等腰三角形。

②當(dāng)PQ=BQ時(shí)，

∵QH⊥PB，

∴PH=BH=(63t)=3t，

∵cos∠HBQ=

∴,解得t=

∴當(dāng)t=秒時(shí)，△BPQ是等腰三角形，

③當(dāng)PQ=PB時(shí),如圖，過P點(diǎn)作PD⊥BC

∵PD⊥BC，

∴BD=QD=BQ=t，

∵cos∠HBQ=

∴,解得t=

∴當(dāng)t=秒時(shí)，△CPQ是等腰三角形，

即當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí),t的值是秒或秒或秒.