Question

如圖，一次函數(shù)y=kx+2與反比例函數(shù)y=

m

x

x＞0）的圖象相交于點(diǎn)P，PA⊥x軸于點(diǎn)A，PB⊥y軸于點(diǎn)B，一次函數(shù)的圖象分別交x軸、y軸于點(diǎn)C、D，且S_△PBD=4，

OC

OA

=

1

2

．
（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)及BD的長(zhǎng)；
（2）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
（3）N是反比例函數(shù)的圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NM⊥x軸于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)N使得四邊形DOMN的面積大于12且與以D、N、P、B為頂點(diǎn)的四邊形的面積相等？若存在，求點(diǎn)N坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)y軸上點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于0即可得出D點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P（x，kx+2），可用x表示出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)

OC

OA

=

1

2

可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出BD的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)S_△PBD=4，PB⊥y軸于點(diǎn)B可得出x的值，進(jìn)而得出k的值，由此得出結(jié)論；
（3）設(shè)N（x，

12

x

），則S_{四邊形DOMN}=

1

2

×（2+

12

x

）x=x+6，根據(jù)S_{四邊形DOMN}＞12得出x的取值范圍，故可得出點(diǎn)N在點(diǎn)P的右側(cè)，連接BN，DN，則NM=

12

x

，OM=x，再由S_{四邊形DOMN}=S_{四邊形DNPB}，求出x的值，進(jìn)而可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵D為直線y=kx+2與y軸的交點(diǎn)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴D（0，2）．
∵P在y=kx+2圖象上，設(shè)點(diǎn)P（x，kx+2），PB⊥y軸于點(diǎn)B，PA⊥x軸于點(diǎn)A，
∴B（0，kx+2），A（x，0）
∴BD=kx+2-2=kx，OA=x
∵

OC

OA

=

1

2

，OC=

1

2

x點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸，
∴C（-

1

2

x，0）
∵點(diǎn)C在y=kx+2上，
∴k（-

1

2

x）+2=0，即kx=4，
∴BD=4；

（2）∵S_△PBD=4，PB⊥y軸于點(diǎn)B，
∴

1

2

BD•BP=4，
∴

1

2

×4x=4，解得x=2，
∴k=2，P（2，6）
∴y=2x+2，y=

12

x

；

（3）設(shè)N（x，

12

x

），則S_{四邊形DOMN}=

1

2

×（2+

12

x

）x=x+6，
∵S_{四邊形DOMN}＞12，得x＞6，
∴點(diǎn)N在點(diǎn)P的右側(cè)，
連接BN，DN，則NM=

12

x

，OM=x，
∵S_{四邊形DOMN}=S_{四邊形DNPB}，
∴

1

2

×2×（6-

12

x

）+

1

2

×4x=x+6，解得x²=12，
∴x=2

3

＜6，
∴滿足條件的點(diǎn)N不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)等知識(shí)，難度適中．