Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上任意一點(diǎn)，以P為圓心，PO為半徑的圓與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B．
（1）求△AOB的面積；
（2）如果tan∠OBA=

1

2

，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）（m＞0，n＞0），由P是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上任意一點(diǎn)，易得mn=12，繼而可求得S_△AOB=

1

2

BO•OA=

1

2

×2n×2m=2mn=2×12=24；
（2）由tan∠OBA=

1

2

，可得

OA

OB

=

1

2

，又由S_△AOB=

1

2

BO•OA=24；即可求得OA與OB的長，繼而求得答案．

解答：解：（1）過點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）（m＞0，n＞0），
∵點(diǎn)P是反比例函數(shù)y=

12

x

（x＞0）圖象上一點(diǎn)，
∴mn=12．
則OM=m，ON=n．
∵∠AOB=90°，
∴AB是直徑，P為圓心，
∴點(diǎn)M為OA中點(diǎn)，點(diǎn)N為OB中點(diǎn)，
∴OA=2OM=2m，OB=2ON=2n，
∴S_△AOB=

1

2

BO•OA=

1

2

×2n×2m=2mn=2×12=24；

（2）∵tan∠OBA=

1

2

，
∴

OA

OB

=

1

2

，
∵S_△AOB=

1

2

BO•OA=24；
∴OA=2

6

，OB=4

6

，
∴OM=

1

2

OA=

6

，ON=

1

2

OB=2

6

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（

6

，2

6

）．

點(diǎn)評：此題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理以及反比例函數(shù)K的幾何意義．此題難度適中，綜合性較強(qiáng)，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．