Question

18．若以△ABC的兩邊AB、BC為邊分別向外作等腰直角△ABE和等腰直角BCH，連接AH、CE交于O點(diǎn)，取EH的中點(diǎn)N，連NB交AC于M．求證：
（1）AH=CE；
（2）AH⊥CE；
（3）NM⊥AC．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到AB=BE，BC=BH，∠ABE=∠CBH=90°，求得∠ABH=∠EBC，推出△ABH≌△EBC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAH=∠CEB，推出A，G，B，E四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓周角定理得到∠AGE=∠ABE=90°，即可得到結(jié)論；
（3）延長BN到F使FN=BN，根據(jù)已知條件得到△BEN≌△HFN，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到HF=BE，∠1=∠F，推出∠ABC=∠BHF，通過△ABC≌△BHF，得到∠BAC=∠F，等量代換即可得到即可．

解答 證明：（1）∵△ABE與△BCH是等腰直角三角形，
∴AB=BE，BC=BH，∠ABE=∠CBH=90°，
∴∠ABH=∠EBC，
在△ABH與△EBC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BE}\\{∠ABH=∠EBC}\\{BH=BC}\end{array}\right.$，
∴△ABH≌△EBC，
∴AH=CE；

（2）∵△ABH≌△EBC，
∴∠BAH=∠CEB，
∴A，G，B，E四點(diǎn)共圓，
∴∠AGE=∠ABE=90°，
∴AH⊥CE；

（3）延長BN到F使FN=BN，
在△BEN與△HFN中，$\left\{\begin{array}{l}{EN=HN}\\{∠ENB=∠HNF}\\{BN=FN}\end{array}\right.$，
∴△BEN≌△HFN，
∴HF=BE，∠1=∠F，
∵∠ABC=180°-∠EBH=180°-∠1-∠HBN，
∠FHB=180°-∠F-∠FBH，
∴∠ABC=∠BHF，
∵AB=BE，
∴AB=HF，在△ABC與△BHF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=HF}\\{∠ABC=∠BHF}\\{BC=BH}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△BHF，
∴∠BAC=∠F，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠BAM+∠2=90°，
∴∠AMB=90°，
∴NM⊥AC．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．