Question

【題目】在四邊形中，，對角線平分．

（1）如圖1，若，且，直接寫出線段、、的數(shù)量關系．

（2）如圖2，若將（1）中的條件“”去掉，求邊、與對角線的數(shù)量關系．請證明．

（3）如圖3，若，直接寫出邊、與對角線的數(shù)量關系（用來表示）

Answer 1

【答案】（1）AB+AD=AC；（2）AC= AB+AD；（3）AB+AD=2.

【解析】

（1）先計算出∠D=，∠CAB=∠CAD=60°，得到AC=2AB，AC=2AD，由此得到AB+AD=AC；

（2）以點C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，證明△ACE是等邊三角形，再證△ACD≌△ECB，即可得到AC=AD+AB；

（3）過點C作∠BCE=∠ACD，證明∠E=∠CAE得到△ACD≌△ECB，過點C作CF⊥AE于F，得到AF=，即可得到AB+AD=2.

（1）∵，，

∴∠D=,

∵,對角線平分,

∴∠CAB=∠CAD=60°，

∴AC=2AB，AC=2AD，

∴AB+AD=AC；

（2）以點C為頂點，AC為一邊作∠ACE=60°，∠ACE的另一邊交AB延長線于點E，

∵∠DAB=120°，,

∴∠DCB=60°，

∵∠BAC=60°，

∴△ACE是等邊三角形，

∴AC=AE=CE，∠ACE=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

∵，∠ABC+∠CBE=180°，

∴∠D=∠CBE，

∴△ACD≌△ECB，

∴AD=BE，

∴AC=AD+AB；

（3）過點C作∠BCE=∠ACD，

∵，∠ABC+∠CBE=180°，

∴∠D=∠CBE,

∴∠E=∠CAD=∠DAB=,

∵∠CAB=∠DAB=,

∴∠E=∠CAE,

∴AC=CE,

∴△ACD≌△ECB,

∴AD=BE,

過點C作CF⊥AE于F，

∴2AF=AB+BE=AB+AD,

∵AF=，

∴2AF=2，

∴AB+AD=2.