Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2﹣4x+c經(jīng)過點A（0，﹣6）和B（3，﹣9）．

（1）求出拋物線的解析式；

（2）寫出拋物線的對稱軸方程及頂點坐標；

（3）點P（m，m）與點Q均在拋物線上（其中m＞0），且這兩點關于拋物線的對稱軸對稱，求m的值及點Q的坐標；

（4）在滿足（3）的情況下，在拋物線的對稱軸上尋找一點M，使得△QMA的周長最�。�

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣4x﹣6；（2）拋物線的對稱軸方程為x=2，拋物線的頂點坐標為（2，10）；（3）m=6，點Q的坐標為（﹣2，6）；（4）當M（2，﹣2）時，△QMA的周長最小．

【解析】

（1）將A、B點的坐標代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組求得a、c的值，從而確定該拋物線的解析式．
（2）用配方法將（1）所得拋物線解析式化為頂點坐標式，即可得到其對稱軸方程和頂點坐標．
（3）由于點P在拋物線的圖象上，那么點P的坐標一定滿足該拋物線的解析式，將其代入拋物線的解析式中，即可求得m的值，進而可根據(jù)（2）得到的對稱軸方程求得點Q的坐標．
（4）△QMA中，QA的長是定值，若其周長最小，那么MA+MQ的值最小，由于Q、P關于拋物線的對稱軸對稱，若連接AP，那么直線AP與拋物線對稱軸的交點必為所求的M點，可先利用待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，然后聯(lián)立拋物線的對稱軸方程求出點M的坐標．

解：（1）把A（0，﹣6），B（3，﹣9）代入y=ax2﹣4x+c得，解得，

所以拋物線解析式為y=x2﹣4x﹣6；

（2）因為y=x2﹣4x﹣6=（x﹣2）2﹣10，

所以拋物線的對稱軸方程為x=2，拋物線的頂點坐標為（2，10）；

（3）把P（m，m）代入y=x2﹣4x﹣6得m2﹣4m﹣6=m，

整理得m2﹣5m﹣6=0，解得m1=﹣1（舍去），m2=6，則P點坐標為（6，6），

點P（6，6）關于直線x=2的對稱點為（﹣2，6），

即點Q的坐標為（﹣2，6）；

（4）連結AP交直線x=2于點M，如圖，

∵P點和Q點關于拋物線的對稱軸對稱，

∵MA=MP，

∴MQ+MA=MP+MP=AP，

∴此時MQ+MA最小，則△QMA的周長最小，

設AP的解析式為y=kx+b，

把A（0，﹣6），P（6，6）代入得 ，解得，

∴直線AP的解析式為y=2x﹣6，

當x=2時，y=2x﹣6=﹣2，

∴當M（2，﹣2）時，△QMA的周長最�。�