Question

4．已知：將一副三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如圖①擺放，點(diǎn)E，A，D，B在一條直線上，且D是AB的中點(diǎn)．將Rt△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線DE，AC相交于點(diǎn)M，直線DF，BC相交于點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M，N作直線AB的垂線，垂足為G，H．
（1）當(dāng)α=30°時(shí)（如圖②），求證：AG=DH；
（2）當(dāng)α=60°時(shí)（如圖③），（1）中的結(jié)論是否成立？請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)0°＜α＜90°（如圖④）時(shí)，求證：AG•HB=GD•DH．

Answer 1

分析 （1）由題意確定出∠A=∠MDA，利用等角對(duì)等邊得到MA=MD，利用三線合一得到AG=GD，再由MG垂直于AD，得到AG垂直于AD，進(jìn)而確定出三角形CDB為等邊三角形，根據(jù)CH垂直于BD，利用三線合一得到H為BD中點(diǎn)，再由D為AB中點(diǎn)，等量代換即可得證；
（2）AG=DH，理由為：根據(jù)題意，利用ASA得到三角形AMD與三角形DNB全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到AM=DN，再由兩直線平行同位角相等，以及一對(duì)直角相等，利用AAS得到三角形AMG與三角形DNH全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（3）利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形AMG與三角形NHB相似，由相似得比例，再利用兩對(duì)角相等的三角形相似得到三角形MGD與三角形DHN相似，由相似得比例，等量代換即可得證．

解答 （1）證明：∵∠A=∠MDA=α=30°，
∴MA=MD，
又∵M(jìn)G⊥AD，
∴AG=$\frac{1}{2}$AD，
∵∠FDB=90°-α=90°-30°=60°，∠B=60°，
∴△CDB是等邊三角形，
又∵CH⊥BD，
∴DH=$\frac{1}{2}$BD，
∵D為AD的中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴AG=DH；                    
（2）解：AG=DH，理由為：
在△AMD和△DNB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠NDB}\\{AD=BD}\\{∠B=∠MDA=60°}\end{array}\right.$，
∴△AMD≌△DNB（ASA），
∴AM=DN，
又∵∠A=∠NDH=90°-α=90°-60°=30°，∠AGM=∠DHN=90°，
∴△AGM≌△DHN（AAS），
∴AG=DH；                   
（3）證明：在Rt△AGM中，∠A=30°，
∴∠AMG=90°-30°=60°=∠B，
又∵∠AGM=∠NHB=90°，
∴△AGM∽△NHB，
∴$\frac{MG}{AG}$=$\frac{HB}{NH}$，
∴MG•NH=AG•HB，
∵∠GMD+∠GDM=90°，∠HDN+∠GDM=90°，
∴∠GMD=∠HDN，
又∵∠MGD=∠DHN=90°，
∴△MGD∽△DHN，
∴$\frac{GD}{MG}$=$\frac{HN}{DH}$，
∴MG•NH=GD•DH，
∴AG•HB=GD•GH．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．