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【題目】如圖,四邊形ABCD為平行四邊形紙片.把紙片ABCD折疊,使點B恰好落在CD邊上,折痕為AF.且AB=10cm、AD=8cmDE=6cm

1)求證:平行四邊形ABCD是矩形;

2)如圖2,以點B為坐標原點,水平方向、豎直方向為x軸、y軸建立平面直角坐標系,求直線AF的解析式;

3)在(2)中的坐標系內是否存在這樣的點P,使得以點PA、E、F為頂點的四邊形是平行四邊形?若不存在,請說明理由;若存在,直接寫出點P的坐標。

【答案】(1)見解析;(2) y=-2x+10 (3)見解析.

【解析】

1)根據翻折變換的對稱性可知AE=AB,在ADE中,利用勾股定理逆定理證明三角形為直角三角形,再根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形證明即可;
2)設BFx,分別表示出EF、EC、FC,然后在EFC中利用勾股定理列式進行計算,而后得出F點的坐標,利用待定系數法求解即可;
3)分三種情況:①當以AE為對角線時;②當以AF為對角線時;③當以EF為對角線時,討論解答即可.

1)證明:∵把紙片ABCD折疊,使點B恰好落在CD邊上,
AE=AB=10,AE2=102=100
又∵AD2+DE2=82+62=100,
AD2+DE2=AE2,
∴△ADE是直角三角形,且∠D=90°,
又∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴平行四邊形ABCD是矩形(有一個角是直角的平行四邊形是矩形);

2)解:設BF=x,則EF=BF=x,EC=CD-DE=10-6=4cm,FC=BC-BF=8-x,
RtEFC中,EC2+FC2=EF2,
42+8-x2=x2,
解得x=5
BF=5cm;

F5,0),易求直線AF的解析式為:y=-2x+10;
3)如圖所示:

由題意得:A(0,10), E(8,4),F(5,0)

①當以AE為對角線時,

∵四邊形AFE為平行四邊形,∴AF=E==5,EF=A=,F(5,0),E(8,4),可以看作點F的坐標向右平移3個單位,再向上平移4個單位得到,∴由A(0,10)向右平移3個單位,再向上平移4個單位得到點(0+3,10+4),(3,14);

②當以AF為對角線時,

∵四邊形AEF為平行四邊形,∴AF=F,EF=A,A(0,10),E(8,4),可以看作點E的坐標向左平移8個單位,向上平移6個單位,得到,∴由F(5,0)向左平移8個單位,再向上平移6個單位得到點(5-8,0+6),(-3,6);

③當以EF為對角線時,

∵四邊形AEF為平行四邊形,∴AF=F,AF=E,A(0,10),E(8,4),可以看作點A的坐標向右平移8個單位,再向下平移6個單位得到,∴由F(5,0) 向右平移8個單位,再向下平移6個單位得到點(5+8,0-6),(13,-6);

綜上所述:P1(314),P2(-3,6),P3(13,-6)

練習冊系列答案
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【題目】閱讀理解:在平面直角坐標系中,若兩點P、Q的坐標分別是P(x1,y1)、

Q(x2,y2),則P、Q這兩點間的距離為|PQ|=.如P(1,2),Q(3,4),則|PQ|==2

對于某種幾何圖形給出如下定義:符合一定條件的動點形成的圖形,叫做符合這個條件的點的軌跡.如平面內到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線.

解決問題:如圖,已知在平面直角坐標系xOy中,直線y=kx+y軸于點A,點A關于x軸的對稱點為點B,過點B作直線l平行于x軸.

(1)到點A的距離等于線段AB長度的點的軌跡是   

(2)若動點C(x,y)滿足到直線l的距離等于線段CA的長度,求動點C軌跡的函數表達式;

問題拓展:(3)若(2)中的動點C的軌跡與直線y=kx+交于E、F兩點,分別過E、F作直線l的垂線,垂足分別是M、N,求證:①EF是△AMN外接圓的切線;②為定值.

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1)如果點P在線段BC上以3厘米/秒的速度由BC點運動,同時點Q在線段CA上由C點向A點運動.

①若點Q的運動速度與點P的運動速度相等,當經過1秒時,BPDCQP是否全等,請判斷并說明理由;

②若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等,當點Q的運動速度為多少時,能夠使BPD≌△CPQ

2)若點Q以②的運動速度從點C出發(fā),點P以原來運動速度從點B同時出發(fā),都逆時針沿ABC的三邊運動,求經過多長時間,點P與點Q第一次在ABC的哪條邊上會相遇?

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(1)甲、乙兩組工作一天,商店應各付多少元?

(2)已知甲組單獨做需12天完成,乙組單獨做需24天完成,單獨請哪組,商店所付費用最少?

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【題目】甲、乙兩組同學進行一分鐘引體向上測試,評分標準規(guī)定,做6個以上6為合格,做9個以上9為優(yōu)秀,兩組同學的測試成績如下表:

成績

 4

 5

 6

 7

 8

 9

 甲組

 1

 2

 5

 2

 1

 4

 乙組

 1

 1

 4

 5

 2

 2

現將兩組同學的測試成績繪制成如下不完整的統(tǒng)計圖表:

統(tǒng)計量

平均數

中位數

眾數

方差

合格率

優(yōu)秀率

甲組

a

6

6

乙組

b

7

將條形統(tǒng)計圖補充完整;

統(tǒng)計表中的______,______;

人說甲組的優(yōu)秀率高于乙組優(yōu)秀率,所以甲組成績比乙組成績好,但也有人說乙組成績比甲組成績好,請你給出兩條支持乙組成績好的理由.

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