Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，點(diǎn)E在邊BC上，四邊形AEDF為菱形．
（1）求證：△ABE≌△DCE；
（2）試探究：當(dāng)矩形ABCD長(zhǎng)寬滿足什么關(guān)系時(shí)，菱形AEDF為正方形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),菱形的性質(zhì),正方形的判定

專(zhuān)題：

分析：（1）由四邊形ABCD為矩形，四邊形AEDF為菱形，可得AB=DC，∠B=∠C=90°，AE=DE，然后利用HL即可判定：△ABE≌△DCE；
（2）當(dāng)BC=2AD時(shí)，易證得△ABE和△DCE是等腰直角三角形，即可求得∠AED=90°，則可判定菱形AEDF為正方形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠C=90°，
∵四邊形AEDF是菱形，
∴AE=DE，
在Rt△ABE和Rt△DCE中，

AB=DC AE=DE

，
∴Rt△ABE≌Rt△DCE（HL ）；

（2）當(dāng)矩形ABCD長(zhǎng)寬滿足：BC=2AB時(shí)，菱形AEDF為正方形．
理由：∵Rt△ABE≌Rt△DCE，
∴BE=CE，
∴BC=2BE=2CE，
∵BC=2AB=2DC，
∴AB=BE，CE=DC，
∵∠B=∠C=90°，
∴∠AEB=∠DEC=45°，
∴∠AED=180°-∠AEB-∠DEC=90°，
∴菱形AEDF為正方形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的判定．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．