【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣6,0),B(2,0),C(0,﹣6).

(1)求拋物線的解析式;
(2)若點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),設(shè)△PAC的面積為S,求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,DE⊥x軸于點(diǎn)E,在y軸上是否存在點(diǎn)M,使得△ADM是直角三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(﹣6,0),B(2,0),C(0,﹣6),

,解得

∴拋物線的解析式為:y= x2+2x﹣6


(2)

解:如圖,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,交AC于點(diǎn)N.

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+m,由題意,得

,解得

∴直線AC的解析式為:y=﹣x﹣6.

設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x, x2+2x﹣6),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x,﹣x﹣6),

∴PN=PE﹣NE=﹣( x2+2x﹣6)+(﹣x﹣6)=﹣ x2﹣3x.

∵SPAC=SPAN+SPCN

∴S= PNOA= ×6(﹣ x2﹣3x)=﹣ (x+3)2+ ,

∴當(dāng)x=﹣3時(shí),S有最大值 ,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣3,﹣


(3)

解:在y軸上是存在點(diǎn)M,能夠使得△ADM是直角三角形.理由如下:

∵y= x2+2x﹣6= (x+2)2﹣8,

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣2,﹣8),

∵A(﹣6,0),

∴AD2=(﹣2+6)2+(﹣8﹣0)2=80.

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,t),分三種情況進(jìn)行討論:

①當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖3①,

由勾股定理,得AM2+AD2=DM2

即(0+6)2+(t﹣0)2+80=(0+2)2+(t+8)2,

解得t=3,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,3);

②當(dāng)D為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖3②,

由勾股定理,得DM2+AD2=AM2

即(0+2)2+(t+8)2+80=(0+6)2+(t﹣0)2,

解得t=﹣7,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,﹣7);

③當(dāng)M為直角頂點(diǎn)時(shí),如圖3③,

由勾股定理,得AM2+DM2=AD2,

即(0+6)2+(t﹣0)2+(0+2)2+(t+8)2=80,

解得t=﹣2或﹣6,

所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,﹣2)或(0,﹣6);

綜上可知,在y軸上存在點(diǎn)M,能夠使得△ADM是直角三角形,此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,3)或(0,﹣7)或(0,﹣2)或(0,﹣6)


【解析】(1)已知拋物線上的三點(diǎn)坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求出該二次函數(shù)的解析式;(2)過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線,交AC于點(diǎn)N,先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式,設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x, x2+2x﹣6),根據(jù)AC的解析式表示出點(diǎn)N的坐標(biāo),再根據(jù)SPAC=SPAN+SPCN就可以表示出△PAC的面積,運(yùn)用頂點(diǎn)式就可以求出結(jié)論;(3)分三種情況進(jìn)行討論:①以A為直角頂點(diǎn);②以D為直角頂點(diǎn);③以M為直角頂點(diǎn);設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(0,t),根據(jù)勾股定理列出方程,求出t的值即可.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】閱讀下面材料: 在學(xué)習(xí)《圓》這一章時(shí),老師給同學(xué)們布置了一道尺規(guī)作圖題:


小敏的作法如下:
如圖,
①鏈接op,做線段op的垂直平分線MN,交OP于點(diǎn)C
②以點(diǎn)C為圓心,CO的長(zhǎng)為半徑作圓,交⊙O于A、B兩點(diǎn)
③作直線PA、PB所以直線PA,PB就是所求的切線

老師認(rèn)為小敏的作法正確.
請(qǐng)回答:連接OA,OB后,可證∠OAP=∠OBP=90°,其依據(jù)是;由此可證明直線PA,PB都是⊙O的切線,其依據(jù)是

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,將等腰△ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度到△A1B1C1的位置,ABA1C1相交于點(diǎn)D,ACA1C1、BC1分別交于點(diǎn)E. F.

(1)求證:△BCF≌△BA1D.

(2)當(dāng)∠C=α度時(shí),判定四邊形A1BCE的形狀并說(shuō)明理由。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖,下列4個(gè)結(jié)論中結(jié)論正確的有
①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④b2﹣4ac>0.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】將一副直角三角板按如圖1 擺放在直線AD 上(直角三角板OBC 和直角三角板MON,∠OBC=90°,∠BOC=45°,∠MON=90°,∠MNO=30°),保持三角板OBC 不動(dòng),將三角板MON 繞點(diǎn)O 以每秒8°的速度順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)t 秒.

(1)如圖2,當(dāng)t=   秒時(shí),OM 平分∠AOC,此時(shí)∠NOC﹣∠AOM=

(2)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板MON,如圖3,使得OM、ON 同時(shí)在直線OC 的右側(cè),猜想∠NOC與∠AOM 有怎樣的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由(數(shù)量關(guān)系中不能含t);

(3)直線AD 的位置不變,若在三角板MON 開始順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的同時(shí),另一個(gè)三角板OBC也繞點(diǎn)O 以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)OM 旋轉(zhuǎn)至射線OD 上時(shí),兩個(gè)三角板同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).

①當(dāng)t= 秒時(shí),∠MOC=15°;

②請(qǐng)直接寫出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,∠NOC 與∠AOM 的數(shù)量關(guān)系(數(shù)量關(guān)系中不能含t).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】觀察圖,解答下列問(wèn)題.

(1)圖中的小圓圈被折線隔開分成六層,第一層有1個(gè)小圓圈,第二層有3個(gè)圓圈,第三層有5個(gè)圓圈,……,第六層有11個(gè)圓圈.如果要你繼續(xù)

下去,那么第七層有幾個(gè)小圓圈?第n層呢?

(2)某一層上有77個(gè)圓圈,這是第幾層?

(3)數(shù)圖中的圓圈個(gè)數(shù)可以有多種不同的方法.

比如:前兩層的圓圈個(gè)數(shù)和為(1+3)或22,

由此得,1 + 3 = 22.

同樣,

由前三層的圓圈個(gè)數(shù)和得:1 + 3 + 5 = 32.

由前四層的圓圈個(gè)數(shù)和得:1 + 3 + 5 + 7 = 42.

由前五層的圓圈個(gè)數(shù)和得:1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 52.

……

根據(jù)上述請(qǐng)你猜測(cè),從1開始的n個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和是多少?用公式把它表示出來(lái).

(4)計(jì)算:1 + 3 + 5 + … + 19的和;

(5)計(jì)算:11 + 13 + 15 + … + 99的和.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在讀書月活動(dòng)中,某校號(hào)召全體師生積極捐書,為了解所捐書籍的種類,圖書管理員對(duì)部分書籍進(jìn)行了抽樣調(diào)查,根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表所提供的信息回答下面問(wèn)題:

某校師生捐書種類情況統(tǒng)計(jì)表

種類

頻數(shù)

百分比

A.科普類

12

n

B.文學(xué)類

14

35%

C.藝術(shù)類

m

20%

D.其它類

6

15%

(1)統(tǒng)計(jì)表中的m= ,n=

(2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

(3)本次活動(dòng)師生共捐書2000本,請(qǐng)估計(jì)有多少本科普類圖書?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知小明的年齡是m,小紅的年齡比小明的年齡的2倍少4,小華的年齡比小紅的年齡的還多1

(1)請(qǐng)用含m的式子表示這三人的年齡和;

(2)若這三人的年齡和為35請(qǐng)你求出這三人的年齡

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某食品廠質(zhì)檢部門對(duì)一批水果罐頭的質(zhì)量進(jìn)行檢查,從中隨意抽查了10個(gè),凈含量如下(單位:g):339,343,341,347,345,341,340,344,329,341.

(1)這個(gè)問(wèn)題中,總體、個(gè)體、樣本各是什么?

(2)試估計(jì)出這批水果罐頭的平均質(zhì)量.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案