Question

【題目】（問題探究）

（1）如圖①已知銳角△ABC，分別以AB、AC為腰，在△ABC的外部作等腰Rt△ABD和Rt△ACE,連接CD、BE，是猜想CD、BE的大小關(guān)系_____________ ；（不必證明）

（深入探究）

（2）如圖②△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)D在邊BC上（不與B、C重合），連接EC，則線段 BC，DC，EC 之間滿足的等量關(guān)系式為________________ ；（不必證明） 線段 AD2，BD2，CD2之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（拓展應(yīng)用）

（3）如圖③，在四邊形 ABCD 中，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°．若 BD=9，CD=3，

求 AD 的長．

① ② ③

Answer 1

【答案】（1）CD=BE；（2）BC=CD+EC，BD2+CD2=2AD2，理由見解析；（3）AD =6.

【解析】

（1）如圖所示，結(jié)論：CD = BE．只要證明△DAC≌△BAE即可；

（2）結(jié)論：BC=CD+EC， BD2+CD2=2AD2，依據(jù)△DAB≌△EAC可得BD=CE,AD=AE, ∠B=∠ACE=45°,因此CE +CD =AD +AE ,即可得出結(jié)論；

（3）作AE⊥AD，使AE=AD，連接CE，DE，證明△BAD≌△CAE，得到BD=CE=9，根據(jù)勾股定理計(jì)算算出DF=,從而得到AD=AF=6.

解：（1）CD=BE；

（2）BC=CD+EC，

BD2+CD2=2AD2，理由如下：

∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE，

∴BD=CE，∠ACE=∠B，

∴∠DCE=90°，

∴CE2+CD2=ED2，

在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，

∴BD2+CD2=2AD2；

（3）作AE⊥AD，使AE=AD，連接CE，DE，

∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE，

在△BAD與△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE=9，

∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，

∴∠EDC=90°，

∴DE==6，

∵∠DAE=90°，

∴AD=AE=DE=6．