Question

已知AB是⊙O的直徑，過(guò)B作AB的垂線BM，MC與⊙O相切于C，OC交AB于D，如圖1．
（1）求證：AC∥DM；
（2）若AB為⊙O的弦，其他條件不變，求證：AC∥DM．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連接BC，證明M、C、D、B四點(diǎn)共圓；運(yùn)用切線的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，即可解決問(wèn)題．
（2）運(yùn)用同（1）中的思路、方法即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）如圖1，連接BC；
∵BM⊥AB，MC為⊙O的切線，
∴∠MBO+∠MCO=90°+90°=180°，
∴M、C、D、B四點(diǎn)共圓，
∴∠MCB=∠MDB；
又∵M(jìn)C為⊙O的切線，
∴∠MCB=∠A，
∴∠A=∠MDB，
∴AC∥DM．

（2）如圖2，連接BC；
∵BM⊥AB，MC為⊙O的切線，
∴∠MBO+∠MCO=90°+90°=180°，
∴M、C、D、B四點(diǎn)共圓，
∴∠MCB=∠MDB；
又∵M(jìn)C為⊙O的切線，
∴∠MCB=∠A，
∴∠A=∠MDB，
∴AC∥DM．

點(diǎn)評(píng)：該命題在考查切線的性質(zhì)定理的同時(shí)，還滲透了對(duì)圓內(nèi)接四邊形的判定及其應(yīng)用的考查；解題的關(guān)鍵是作輔助線，溝通角與角之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用切線的性質(zhì)定理來(lái)解題．