Question

4．已知：△ABC中，AB=AC，∠B=α．
（1）如圖1，點D，E分別在邊AB，AC上，線段DE的垂直平分線MN交直線BC于點M，交DE于點N，求證：BD+CE=BC．需補充條件∠EMN=$\frac{1}{2}$α（用含α的式子表示）補充條件后并證明；
（2）把（1）中的條件改為點D，E分別在邊BA、AC延長線上，線段DE的垂直平分線MN交直線BC于點M，交DE于點N（如圖2），并補充條件∠EMN=$\frac{1}{2}$α（用含α的式子表示），通過觀察或測量，猜想線段BD，CE與BC之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并予以證明．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)∠EMN=$\frac{1}{2}$α?xí)r，BD+CE=BC．連接DM．先證明∠DME=α．接下來證明∠DMB=∠CEM．然后依據(jù)AAS可證明△BDM≌△CME，然后由全等三角形的性質(zhì)可證得BD=MC，EC=BM，結(jié)合條件MB+MC=BC，可證得問題的結(jié)論；
（2）當(dāng)∠EMN=$\frac{1}{2}$α?xí)r，BD=CE+BC．先證明∠DMN=∠EMN=$\frac{1}{2}$α．從而得到∠EMD=∠B=α，接下來，依據(jù)等角的補角相等可證得∠DBM=∠MCE，然后依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)和角的和差關(guān)系證明∠MDB=∠EMC，然后依據(jù)AAS可證明△BDM≌△CME，由全等三角形的性質(zhì)可得到BD=MC，EC=BM，結(jié)合MB+BC=MC可證得EC+BC=BD．

解答 解：（1）當(dāng)∠EMN=$\frac{1}{2}$α?xí)r，BD+CE=BC．
理由：如圖1所示：連接DM．

∵AB=AC，
∴∠B=∠C=α．
∵MN是DE的垂直平分線，
∴DN=NE，DM=EM．
在△MND和△MNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{ND=NE}\\{MN=MN}\\{DM=ME}\end{array}\right.$，
∴△MND≌△MNE．
∴∠DMN=∠EMN=$\frac{1}{2}$α．
∴∠DME=α．
∵∠C+∠CEM=∠DMB+∠DME，∠C=∠DME=α，
∴∠DMB=∠CEM．
在△BDM和△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠DMB=∠CEM}\\{DM=EM}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CME．
∴BD=MC，EC=BM．
又∵MB+MC=BC，
∴BD+EC=BC．
（2）當(dāng)∠EMN=$\frac{1}{2}$α?xí)r，BD=CE+BC．

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∴∠DBM=∠MCE．
∵MN是DE的垂直平分線，
∴DN=NE，DM=EM．
在△MND和△MNE中，
$\left\{\begin{array}{l}{ND=NE}\\{MN=MN}\\{DM=ME}\end{array}\right.$，
∴△MND≌△MNE．
∴∠DMN=∠EMN=$\frac{1}{2}$α．
∴∠EMD=∠B=α
∵∠BMD+∠MDB=α，∠EMC+∠CMD=α，
∴∠EMC=∠MDB．
在△BDM和△CME中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DBM=∠MCE}\\{∠MDB=∠EMC}\\{MD=ME}\end{array}\right.$，
∴△BDM≌△CME．
∴BD=MC，EC=BM．
又∵MB+BC=MC，
∴EC+BC=BD．

點評 本題主要考查的是三角形的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)和判定、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．