Question

在四邊形ABCD中，AC⊥CD，AC=CD，∠ABD=90°，BD平分∠APC，交AC于點T．求證：DT=2AB．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：延長DC和AB，它們相交于E，如圖，先利用等角的余角相等得到∠BAT=∠CDT，則可根據(jù)“AAS”判斷△ACE=≌△DCT，則AE=DT，由于BD平分∠APC，BD⊥AE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AB=EB，于是有DT=2AB．

解答：解：延長DC和AB，它們相交于E，如圖，
∵AC⊥CD，
∴∠ACE=90°，
∵∠ABD=90°，∠ATB=CTD，
∴∠BAT=∠CDT，
在△ACE和△DCT中，

∠CAE=∠CDT ∠ACE=∠DCT AC=DC

，
∴△ACE=≌△DCT（AAS），
∴AE=DT，
∵BD平分∠APC，BD⊥AE，
∴AB=EB，
∴AE=2AB，
∴DT=2AB．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸�條件．靈活運用等腰三角形的性質(zhì)．