Question

已知點(diǎn)P（a，4）在拋物線(xiàn)y=

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4

x²+c和直線(xiàn)y=-2x上．
（1）求a，c的值；
（2）把此二次函數(shù)的圖象沿著y軸方向平移，經(jīng)過(guò)怎樣的平移才能使所得的圖象與直線(xiàn)y=-2x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象與幾何變換

專(zhuān)題：

分析：（1）首先將點(diǎn)P代入直線(xiàn)的解析式求得a的值，然后代入二次函數(shù)的解析式即可求得c值；
（2）設(shè)拋物線(xiàn)yy=

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4

x²+3向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后得y-k=y=

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x²+3則得方程-2x-k=y=

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x²+3，得到△=8²-4（4k+12）=16-16k，然后令16-16k=0，解得：k=1，從而確定平移的方向和單位．

解答：解：（1）∵點(diǎn)P（a，4）在直線(xiàn)y=-2x上，
∴4=-2a，
即：a=-2，
又∵點(diǎn)P（-2，4）在拋物線(xiàn)y=

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4

x²+c上，
∴4=

1

4

×（-2）²+c，
即：c=3；

（2）把已知的二次函數(shù)的圖象沿著y軸方向向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的圖象與直線(xiàn)y=-2x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
理由：由（1）知，拋物線(xiàn)y=

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4

x²+3和直線(xiàn)y=-2x有兩個(gè)公共點(diǎn)，
因此設(shè)拋物線(xiàn)yy=

1

4

x²+3向上平移k個(gè)單位長(zhǎng)度后得y-k=y=

1

4

x²+3，
則得方程-2x-k=y=

1

4

x²+3，
即：x²+8x+4k+12=0，
△=8²-4（4k+12）=16-16k，
令16-16k=0，解得：k=1，
故把已知的二次函數(shù)的圖象沿著y軸方向向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的圖象與直線(xiàn)y=-2x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及二次函數(shù)的圖象與幾何變換的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是確定二次函數(shù)的解析式，難度中等．