Question

6．如圖，已知AD是△BAC的角平分線，AD的垂直平分線EF交BC的延長線于點E，試說明：ED²=EC•EB．

Answer 1

分析 由FE是AD的垂直平分線得到FA=FD，再根據(jù)等邊對等角得到∠FAD=∠FDA，而∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，其中由AD是∠BAC的平分線可以得到∠1=∠2，可得∠BAF=∠ACF，再加上公共角∠BFA=∠AFB，可得△BAF∽△ACF，再根據(jù)相似三角形的性質可得結論．

解答 證明：連接AE，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
∵FE是AD的垂直平分線，
∴EA=ED（線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等），
∴∠EAD=∠EDA（等邊對等角），
∵∠BAE=∠EAD+∠1，∠ACE=∠EDA+∠2，
∴∠BAE=∠ACE，
又∵∠BFA=∠AFB，
∴△BAE∽△ACE，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{CE}{AE}$，
∴AE²=BE•CE，
∴DE²=BE•CE．

點評 此題考查了相似三角形的判定和性質，角平分線的性質、線段的垂直平分線性質、相似三角形的判定與性質，關鍵是證明△BAF∽△ACF．