Question

11．已知：如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點，且$\frac{EB}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{1}{3}$．求證：∠AEF=∠FBD．

Answer 1

分析 首先設正方形ABCD的邊長為3，利用正方形的性質(zhì)和$\frac{EB}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{1}{3}$求得EB、AF、AE、FD，進一步利用勾股定理求得FG、BF、EF、BG，利用三邊對應成比例求得△AEF∽△BGF，得出結論．

解答 證明：如圖，

作FG⊥BD于點G，
設正方形ABCD的邊長為3，
則AB=AD=3，∠ADB=45°，
∵$\frac{EB}{AB}$=$\frac{AF}{AD}$=$\frac{1}{3}$，
∴EB=1，AF=1，AE=3-1=2，F(xiàn)D=3-1=2，
∴EF=$\sqrt{A{E}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
BF=$\sqrt{A{B}^{2}+A{F}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
FG=$\sqrt{2}$，
BG=$\sqrt{B{F}^{2}-F{G}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵$\frac{AF}{FG}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{AE}{BG}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{EF}{BF}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{AF}{FG}$=$\frac{AE}{BG}$=$\frac{EF}{BF}$，
∴△AEF∽△GBF，
∴∠AEF=∠FBD．

點評 此題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，掌握三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問題的關鍵．