Question

【題目】如圖1所示,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象交A(1,4)，B(-4,c)兩點,

(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式;

(2)點P是x軸上一動點,使|PA-PB|的值最大,求點P的坐標及△PAB的面積;

(3)如圖2所示,點M、N都在直線AB上,過M、N分別作y軸的平行線交雙曲線于E、F,設(shè)M、N的橫坐標分別為m、n,且, ,請?zhí)骄?/span>,當m、n滿足什么關(guān)系時，ME=NE.

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為y=，一次函數(shù)的解析式為y=x+3；（2）P點坐標為(-,0)，S△PAB=；（3）當mn=-4時,ME=NE.

【解析】試題分析：

（1）把點A（1，4）、B(-4，c)的坐標分別代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得反比例函數(shù)的解析式和c的值，從而可得點B的坐標，再把A、B的坐標代入一次函數(shù)的解析式求得k、b的值即可得到一次函數(shù)的解析式；

（2）作點B關(guān)于x軸的對稱點B′，連接AB′交x軸于點P，此時所得點P為所求點，先由A和B′的坐標求出直線AB′的解析式，再求點P的坐標，再求出直線AB與x軸的交點坐標即可求得△PAB的面積了；

（3）由題意可得用“m”和“n”的式子分別表達出點M和點N的坐標，進而可表達出ME和NF的長度，結(jié)合ME=NF可得關(guān)于“m、n”的等式，把等式變形即可得到所求結(jié)論.

試題解析：

(1)把A(1,4)代入y= ,得4= , ∴a=4.

∴反比例函數(shù)的解析式為y=

把B(-4,c)代入,得c= =-1.∴B(-4,-1).

把A(1,4)、B(-4,-1)代入y=kx+b得

∴

∴一次函數(shù)的解析式為y=x+3.

(2)如圖所示,作B關(guān)于x軸的對稱點B,則B'(-4,1),連接AB并延長交x軸于P,則此時|PA-PB|的值最大.設(shè)直線AB'的解析式為y=k1x+b1,則有

∴

∴直線AB′的解析式為y=x+ ,當y=0

時,x=-

∴P點坐標為(-,0)

∵直線AB與x軸的交點為(-3,0),

S△PAB=；

(3)由題可知，M(m,m+3)，N(n,n+3)，E ，

∵.-4<m<0，n>1，

∴ME=m+3 ，NF=n+3，

當ME=NF時，m+3- =n+3- ，即

∴,m≠n，

∴mn=-4.

∴當mn=-4時，ME=NE.