【題目】十八世紀瑞士數(shù)學家歐拉證明了簡單多面體中頂點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的一個有趣的關系式,請你觀察下列幾種簡單多面體模型,解答下列問題:

1 2

探索新知如圖1,(1)根據(jù)上面多面體模型,完成表格中的空格;

多面體

頂點數(shù)(V

面數(shù)(F

棱數(shù)(E

四面體

4

4

長方體

8

6

12

正八面體

8

12

正十二面體

20

12

30

你發(fā)現(xiàn)頂點數(shù)(V)、面數(shù)(F)、棱數(shù)(E)之間存在的關系式是   

(2)根據(jù)以上關系式猜想是否存在一個多面體,它有16個面,50條棱,34個頂點?并寫出理由。

(實際應用)如圖2,足球一般有32塊黑白皮子縫合而成,黑色的是正五邊形,白色的是正六邊形,如

果我們近似把足球看成一個多面體.

(1)設黑色的正五邊形有x塊,則白色的正六邊形有(32﹣x塊,當把足球看成一個多面體時,它的棱數(shù)是  ,它的頂點數(shù)是  

(2)求出黑皮和白皮各有多少塊?

【答案】【探索新知】(1)6,6,V+FE=2;(2)不存在;

【實際應用】(1)﹣x+96,;﹣x+64,(2)正五邊形有12塊,正六邊形有20塊.

【解析】

探索新知(1)觀察圖形即可得出結論;觀察可得頂點數(shù)+面數(shù)-棱數(shù)=2;
(2)代入(1)中的式子即可驗證.

實際應用(1)直接利用歐拉公式求出答案;

(2)根據(jù)題意可知:本題中的等量關系是黑白皮塊32和因為每塊白皮有3條邊與黑邊連在一起,所以黑皮只有(32-x)塊,而黑皮共有邊數(shù)為5x塊,依此借助歐拉公式列方程求解即可.

探索新知(1)觀察表格可以看出:頂點數(shù)+面數(shù)棱數(shù)=2,關系式為:V+FE=2;

多面體

頂點數(shù)(V)

面數(shù)(F)

棱數(shù)(E)

四面體

4

4

6

長方體

8

6

12

正八面體

6

8

12

正十二面體

20

12

30

(2)由題意知,V=34,F(xiàn)=16,E=50,不符合關系式:V+FE=2.故沒有這樣的多邊形.

實際應用(1)設正五邊形有x塊,則正六邊形有32x塊,

F=32,E=5x+= x+96

V=E÷3×2=+64

(2)根據(jù)歐拉公式得:V+FE=2,

x+64+32(x+96)=2,

解得:x=12,32x=20,

所以,正五邊形有/span>12塊,正六邊形有20.

練習冊系列答案
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③說明做100次這種試驗中,前99次事件A沒發(fā)生,后1次事件A才發(fā)生
④說明做100次這種試驗,事件A可能發(fā)生1次(
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B.①、②、④
C.②、③、④
D.①、②、③、④

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(1)若銷售a箱紙盒裝和a袋編織袋裝四季柚的收入共950元,求a的值;

(2)當銷售總收入為7 280元時:

若這批四季柚全部售完,請問紙盒裝共包裝了多少箱,編織袋裝共包裝了多少袋.

若該經(jīng)銷商留下b(b>0)箱紙盒裝送人,其余柚子全部售出,求b的值.

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