Question

【題目】如圖1，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，拋物線與x軸的另一交點(diǎn)為A，連接AC、BC．

求拋物線的解析式及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

若點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn)，連接BD，在y軸上是否存一點(diǎn)E，使得是以BD為斜邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；

如圖2，P為拋物線在第一象限內(nèi)一動點(diǎn)，過P作于Q，當(dāng)PQ的長度最大時，在線段BC上找一點(diǎn)M使的值最小，求的最小值．

Answer 1

【答案】(1)；存在，或；的最小值是．

【解析】

利用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，令解方程可得A的坐標(biāo)；

根據(jù)，構(gòu)建輔助圓，與y軸有兩個交點(diǎn)為點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理列方程可得點(diǎn)E的坐標(biāo)；

先作直線；，保證直線l與拋物線有一個公共點(diǎn)，即，可得P的坐標(biāo)，過P作軸，BC于M，此時的值最小，根據(jù)三角函數(shù)求確定其最小值是PN的長即可．

解:把，代入拋物線中得：

，解得：，

拋物線的解析式為：，

當(dāng)時，，

解得：，，

；

存在，如圖1，

，，

，

設(shè)，

，

，

即，

，

，，

或；

，，

易得BC的解析式為：，

如圖2，作直線，

設(shè)直線l的解析式為：，

當(dāng)直線l與拋物線有一個公共點(diǎn)時，這個公共點(diǎn)為P，此時PQ的長最大，

則，

，

，

，

，

解得：，

，

過P作軸于N，交BC于M，

，

，

，

即的最小值是．