【題目】(1)發(fā)現(xiàn)

如圖1,點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),且BC=,AB=.

填空:當(dāng)點(diǎn)A位于__________________時(shí),線段AC的長取得最大值,且最大值為_____________.

(用含的式子表示)

(2)應(yīng)用

點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn),且BC=3,AB=1.如圖2所示,分別以AB,AC為邊,作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE,連接CD,BE.

請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段,并說明理由;

直接寫出線段BE長的最大值.

(3)拓展

如圖3,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2 , 0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5 , 0),點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn),且PA=2,PM=PB,BPM=90°.請(qǐng)直接寫出線段AM長的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)CB的延長線上,a+b;(2)DC=BE,理由見解析;BE的最大值是4.(3)AM的最大值是3+2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2-,).

【解析】

試題分析:(1)當(dāng)點(diǎn)A在線段CB的延長線上時(shí),可得線段AC的長取得最大值為a+b;(2)DC=BE,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60°,再證得CAD=EAB,即可判定CAD≌△EAB,所以DC=BE;當(dāng)點(diǎn)A在線段CB的延長線上時(shí),可得線段CD的長取得最大值為3+1=4,即可得BE的最大值是4;(3)如圖3,構(gòu)造BNP≌△MAP,則NB=AM,由(1)知,當(dāng)點(diǎn)N在BA的延長線上時(shí),NB有最大值(如備用圖)。易得APN是等腰直角三角形,AP=2,AN=,AM=NB=AB+AN=3+;過點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E,PE=AE=,又A(2,0)P(2-,

試題解析:(1)CB的延長線上,a+b;

(2)DC=BE,理由如下:

∵△ABD和ACE為等邊三角形,

AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60°,

∴∠BAD+BAC=CAE+BAC,即CAD=EAB,

∴△CAD≌△EAB.

DC=BE.

BE的最大值是4.

(3)AM的最大值是3+2,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2-,).

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(1)如圖1,在ABC中,CD為角平分線,A=40°,B=60°,求證:CD為ABC的完美分割線;

(2)在ABC中,A=48°,CD是ABC的完美分割線,且ACD為等腰三角形,求ACB的度數(shù);

(3)如圖2,ABC中,AC=2,BC=,CD是ABC的完美分割線,且ACD是以CD為底邊的等腰三角形,求完美分割線CD的長。

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