Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+c與x軸交于點(diǎn)A（-2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，2

3

），線段AC上有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)C移動(dòng)，線段AB上有另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？如果存在，請求出對應(yīng)的t的值；如果不存在，請說明理由．
（3）在y軸上有兩點(diǎn)M（0，m）和N（0，m+1），若要使得AM+MN+NP的和最小，請直接寫出相應(yīng)的m、t的值以及AM+MN+NP的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用等定系數(shù)法求出拋物線的解析式即可，
（2）先求出AO，OC和AC，分兩種情況①若∠APQ=90° 則cos∠CAO=cos∠PAQ，②若∠AQP=90°，則cos∠CAO=cos∠PAO，求解．
（3）先證出當(dāng)AF是BC邊上的高時(shí)，M是AF和y軸的交點(diǎn)AM+NP+MN有最小值，再利用∠DAB=30°求出m的值，利用RT△CPN求出CP，再求出t，最后得出AM+MN+NP的最小值．

解答：解：（1）把A（-2，0）和C（0，2

3

）代入y=ax²+c得

0=4a+c c=2 3

，
解得

a=- 3 2 c=2 3

．
∴拋物線的解析式為：y=-

3

2

x²+2

3

，
（2）在y=-

3

2

x²+2

3

中，
令y=0．則-

3

2

x²+2

3

=0，
解得，x₁=-2，x₂=2，
∴AB=4，
∵AP=t，AQ=4-2t，
在RT△AOC中，AO=2，OC=2

3

，
∴AC=

AO2+OC2

=

22+(2 3 )2

=4，
∴cos∠CAO=

AO

AC

=

1

2

，
①若∠APQ=90° 則cos∠CAO=cos∠PAQ，
∴

1

2

=

AP

AQ

，
∴

1

2

=

t

4-2t

，
解得t=1，
②若∠AQP=90°，則cos∠CAO=cos∠PAO，
∴

1

2

=

AQ

AP

，
∴

1

2

=

4-2t

t

，
解得t=

8

5

，
∴當(dāng)t=1或t=

8

5

時(shí)，以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似．
（3）如圖1，作PN⊥AC，P′N⊥BC，垂足分別為P，P′，

∵拋物線的對稱軸是y軸，
∴CO是∠ACB的角平分線，
∴NP=NP′，
作MF⊥BC．P′H∥MN，
∴四邊形MHP′N是平行四邊形，
∴MH=NP′=NP，P′H=MN，
由（1）可知，∠CAO=60°，
∴∠OCB=∠OCA=30°，
∴∠CMF=60°，
∴∠P′HF=60°，
∴HF=

1

2

P′H=

1

2

MN=

1

2

，
∴AM+NP=AM+MH＞AF-

1

2

，
∴當(dāng)AF是BC邊上的高時(shí)，M是AF和y軸的交點(diǎn)，AM+NP有最小值，即AM+NP+MN有最小值，
如圖2，作AD⊥BC于點(diǎn)D，

∵△ABC是正三角形，
∴∠DAB=30°，AO=2，
∴OM=

2 3

3

，
∴m=

2 3

3

，
∴CN=OC-ON=2

3

-

2 3

3

-1=

4 3

3

-1
在RT△CPN中∠NCP=30°，
∴PC=2-

3

2

，PN=

1

2

（

4 3

3

-1）=

2 3

3

-

1

2

∴AP=4-（2-

3

2

）=2+

3

2

∴t=2+

3

2

，
∴AM+MN+NP的最小值=

4 3

3

+1+

2 3

3

-

1

2

=2

3

+

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形證出M在什么位置時(shí)AM+NP+MN有最小值．