Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+4經(jīng)過A（-3，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，D（4-4

2

，0）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點(diǎn)A移動(dòng)．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若經(jīng)過t秒的移動(dòng)，線段PQ被CD垂直平分，求此時(shí)t的值；
（3）在第一象限的拋物線上取一點(diǎn)G，使得S_△GCB=S_△GCA，再在拋物線上找點(diǎn)E（不與點(diǎn)A、B、C重合），使得∠GBE=45°，求E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可；
（2）首先求出△AQD∽△ACB，則

AD

AB

=

DQ

BC

，得出DQ=DP的長，進(jìn)而得出答案；
（3）首先得出G點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出△BGM∽△BEN，進(jìn)而假設(shè)出E點(diǎn)坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得出E點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）將A（-3，0）、B（4，0）代入y=ax²+bx+4得：

9a-3b+4=0 16a+4b+4=0

，
解得：

a=- 1 3 b= 1 3

，
故拋物線的解析式為：y=-

1

3

x2+

1

3

x+4；

（2）如圖，連接QD，
由B（4，0）和D（4-4

2

，0），
可得BD=4

2

，
∵y=-

1

3

x2+

1

3

x+4，
∴CO=4，
∴BC=4

2

，則BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=∠QDC，
∴DQ∥BC，
∴△AQD∽△ACB，
∴

AD

AB

=

DQ

BC

，
∴

7-4 2

7

=

DQ

4 2

，
∴DQ=

28 2 -32

7

=DP，
t=AP=AD+DP=7-4

2

+

28 2 -32

7

=

17

7

；

（3）如圖，過點(diǎn)G作GM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)E作EN⊥AB于點(diǎn)N，
∵S_△GCB=S_△GCA，
∴只有CG∥AB時(shí)，G點(diǎn)才符合題意，
∵C（0，4），
∴4=-

1

3

x²+

1

3

x+4，
解得：x₁=1，x₂=0，
∴G（1，4），
∵∠GBE=∠OBC=45°，
∴∠GBC=∠ABE，
∴△BGM∽△BEN，
∴

GM

BM

=

EN

BN

=

1

7

，
設(shè)E（x，-

1

3

x2+

1

3

x+4）
∴

- 1 3 x2+ 1 3 x+4

4-x

=

1

7

解得x1=-

18

7

，x₂=4（舍去），
則E（-

18

7

，

46

49

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，利用數(shù)形結(jié)合得出△BGM∽△BEN是解題關(guān)鍵．