【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中線,E是AD的中點,過點A作AF∥BC交BE的延長線于F,連接CF.
(1)求證:AD=AF;
(2)如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀,并證明你的結論.

【答案】
(1)證明:∵AF∥BC,

∴∠EAF=∠EDB,

∵E是AD的中點,

∴AE=DE,

在△AEF和△DEB中,

,

∴△AEF≌△DEB(ASA),

∴AF=BD,

∵在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中線,

∴AD=BD=DC= BC,

∴AD=AF


(2)解:四邊形ADCF是正方形.

∵AF=BD=DC,AF∥BC,

∴四邊形ADCF是平行四邊形,

∵AB=AC,AD是中線,

∴AD⊥BC,

∵AD=AF,

∴四邊形ADCF是正方形.


【解析】(1)由E是AD的中點,AF∥BC,易證得△AEF≌△DEB,即可得AF=BD,又由在△ABC中,∠BAC=90°,AD是中線,根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半,即可證得AD=BD=CD= BC,即可證得:AD=AF;(2)由AF=BD=DC,AF∥BC,可證得:四邊形ADCF是平行四邊形,又由AB=AC,根據(jù)三線合一的性質,可得AD⊥BC,AD=DC,繼而可得四邊形ADCF是正方形.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直角三角形斜邊上的中線的相關知識,掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半,以及對正方形的判定方法的理解,了解先判定一個四邊形是矩形,再判定出有一組鄰邊相等;先判定一個四邊形是菱形,再判定出有一個角是直角.

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