Question

在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從D，C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在直線DC，CB上移動(dòng)．
（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)E自D向C，點(diǎn)F自C向B移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，請你寫出AE與DF的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）如圖②，當(dāng)E，F(xiàn)分別移動(dòng)到邊DC，CB的延長線上時(shí)，連接AE和DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不須證明）
（3）如圖③，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊CD，BC的延長線上移動(dòng)時(shí)，連接AE，DF，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由；
（4）如圖④，當(dāng)E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動(dòng)時(shí)，連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E，F(xiàn)的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，請你畫出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路徑的草圖．若AD=2，試求出線段CP的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）AE=DF，AE⊥DF．先證得△ADE≌△DCF．由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF，∠DAE=∠CDF，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（2）是．四邊形ABCD是正方形，所以AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF，所以△ADE≌△DCF，于是AE=DF，∠DAE=∠CDF，因?yàn)椤螩DF+∠ADF=90°，∠DAE+∠ADF=90°，所以AE⊥DF；
（3）成立．由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF，延長FD交AE于點(diǎn)G，再由等角的余角相等可得AE⊥DF；
（4）由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°，所以點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，連接QC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長度最小，再由勾股定理可得QC的長，再求CP即可．

解答：解：（1）AE=DF，AE⊥DF．
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠ADC=∠C=90°．
在△ADE和△DCF中，

AD=DC ∠ADC=∠C DE=CF

，
∴△ADE≌△DCF（SAS）．
∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，
由于∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠DAE+∠ADF=90°．
∴AE⊥DF；

（2）是；

（3）成立．
理由：由（1）同理可證AE=DF，∠DAE=∠CDF
延長FD交AE于點(diǎn)G，

則∠CDF+∠ADG=90°，
∴∠ADG+∠DAE=90°．
∴AE⊥DF；

（4）如圖：

由于點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°，
∴點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，
設(shè)AD的中點(diǎn)為Q，連接QC交弧于點(diǎn)P，此時(shí)CP的長度最小，
在Rt△QDC中，QC=

CD2+QD2

=

22+12

=

5

，
∴CP=QC-QP=

5

-1．

點(diǎn)評：本題主要考查了四邊形的綜合知識．綜合性較強(qiáng)，特別是第（4）題要認(rèn)真分析．