Question

已知如圖（1），AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于H，OE⊥AC于E，猜想OE與BD的數(shù)量關(guān)系是

 

．
探索：
①若：AB不是⊙O的直徑，其他的條件不變[如圖（2）]則（1）中的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明，不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．
②若：AB，CD的位置關(guān)系不變，但其交點(diǎn)在⊙O外[如圖（3）]，則上述結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明你的判斷依據(jù)．

Answer 1

考點(diǎn)：垂徑定理,三角形中位線定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系

專(zhuān)題：

分析：（1）首先連接BC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，可得BC=BD，又由OE⊥AC，易得OE是△ABC的中位線，繼而證得BD=2OE；
（2）①首先連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，易得OE是△ACF的中位線，則可得CF=2OE，又由圓周角定理與弧與弦的關(guān)系，可證得BD=CF，繼而證得結(jié)論；
②首先連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，易得OE是△ACF的中位線，則可得CF=2OE，又由圓周角定理與弧與弦的關(guān)系，可證得BD=CF，繼而證得結(jié)論．

解答：解：（1）連接BC，
∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴

BC

=

BD

，
∴BC=BD，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵AO=BO，
∴BC=2OE，
∴BD=2OE．
故答案為：BD=2OE．

（2）①成立．
理由：連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵OA=OF，
∵CF=2OE，
∵AF是直徑，
∴∠ACF=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AHC=90°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∵∠ACH+∠DCF=90°，
∴∠CAH=∠DCF，
∵∠CAH=∠CDB，
∴∠DCF=∠CDB，
∴

BC

=

DF

，
∴

CF

=

BD

，
∴CF=BD，
∴BD=2OE．

②成立．
理由：連接AO，并延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)F，連接CF，
∵OE⊥AC，
∴AE=CE，
∵OA=OF，
∵CF=2OE，
∵AF是直徑，
∴∠ACF=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠AHC=90°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∵∠ACH+∠DCF=90°，
∴∠CAH=∠DCF，
∵∠CAH=∠CDB，
∴∠DCF=∠CDB，
∴

BC

=

DF

，
∴

CF

=

BD

，
∴CF=BD，
∴BD=2OE．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了垂徑定理、圓周角定理、弧與弦的關(guān)系以及三角形中位線的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．