【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為20cm,∠ABC=120°.動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā),其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng);Q先以2cm/s的速度沿A→O的路線向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng),然后再以2cm/s的速度沿O→D的路線向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)時(shí),整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)在點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),判斷PQ與對(duì)角線AC的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若點(diǎn)Q關(guān)于菱形ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為M,過點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD(或CD)于點(diǎn)N.
①直接寫出當(dāng)△PQM是直角三角形時(shí)t的取值范圍;
②是否存在這樣的t,使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形?若存在,請(qǐng)求出所有符合條件的t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)PQ⊥AC,理由見解析;(2)①0<t<5或t=7.5;②存在,t=2或
【解析】
(1)利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可.
(2)①分兩種情形分別求解即可.
②假設(shè)存在這樣的t,使得△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形,但是需分點(diǎn)N在AD上時(shí)和點(diǎn)N在CD上時(shí)兩種情況分別討論.
(1)由題意AP=4t,AQ=2t.
則==,
又∵AO=10,AB=20,
∴==.
∴=,
又∵∠CAB=30°,
∴△APQ∽△ABO.
∴∠AQP=∠AOB=90°,即PQ⊥AC.
(2)①由(1)可知,當(dāng)0<t<5時(shí),如圖1中,∠PQM=90°,△PQM是直角三角形,
當(dāng)5<t<10時(shí),如圖2中,當(dāng)BP=PC時(shí),∠PMQ=90°,此時(shí)t=7.5,
綜上所述,當(dāng)0<t<5或t=7.5時(shí),△PQM是直角三角形
②存在這樣的t,使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形.
設(shè)l交AC于H.
如圖1,當(dāng)點(diǎn)N在AD上時(shí),若PN⊥MN,則∠NMH=30°.
∴MH=2NH.得20﹣4t﹣t=2×,解得t=2.
如圖3,當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí),若PM⊥PN,則PM∥CD,
∴∠BPM=∠BCD=60°,∠BMP=∠BDC=60°,
∵∠PBM=60°,
∴△PBM是等邊三角形,
∵PB=BM,
∴4t﹣20= [20﹣2×2(t﹣5)],
解得t=.
故當(dāng)t=2或時(shí),存在以PN為一直角邊的直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某區(qū)域平面示意圖如圖,點(diǎn)O在河的一側(cè),AC和BC表示兩條互相垂直的公路.甲勘測(cè)員在A處測(cè)得點(diǎn)O位于北偏東45°,乙勘測(cè)員在B處測(cè)得點(diǎn)O位于南偏西73.7°,測(cè)得AC=840m,BC=500m.請(qǐng)求出點(diǎn)O到BC的距離.參考數(shù)據(jù):sin73.7°≈,cos73.7°≈,tan73.7°≈
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【題目】將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊,BE,EG,FG為折痕,若頂點(diǎn)A,C,D都落在點(diǎn)O處,且點(diǎn)B,O,G在同一條直線上,同時(shí)點(diǎn)E,O,F在另一條直線上,則的值為( )
A.B.C.D.
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【題目】如圖,扇形中,,,是的中點(diǎn),⊥交于點(diǎn),以為半徑的交于點(diǎn),則圖中陰影部分的面積是___.
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【題目】已知四邊形中,,,點(diǎn)是射線上一點(diǎn),點(diǎn)是射線上一點(diǎn),且滿足.
(1)如圖,當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí),若,在線段上截取,聯(lián)結(jié).求證:;
(2)如圖,當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上時(shí),若,,,設(shè),,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及其定義域;
(3)記與交于點(diǎn),在(2)的條件下,若與相似,求線段的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn),過點(diǎn)作軸于點(diǎn),,,點(diǎn)的坐標(biāo)為.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)求的面積;
(3)是軸上一點(diǎn),且是等腰三角形,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,該拋物線是由y=x2平移后得到,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,﹣),并與坐標(biāo)軸分別交于A,B,C三點(diǎn).
(1)求A,B的坐標(biāo).
(2)如圖2,連接BC,AC,在第三象限的拋物線上有一點(diǎn)P,使∠PCA=∠BCO,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)如圖3,直線y=ax+b(b<0)與該拋物線分別交于P,G兩點(diǎn),連接BP,BG分別交y軸于點(diǎn)D,E.若ODOE=3,請(qǐng)?zhí)剿?/span>a與b的數(shù)量關(guān)系.并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于任意一個(gè)四位數(shù),我們可以記為,即.若規(guī)定: 對(duì)四位正整數(shù)進(jìn)行 F運(yùn)算,得到整數(shù).例如,;.
(1)計(jì)算:;
(2)當(dāng)時(shí),證明:的結(jié)果一定是4的倍數(shù);
(3)求出滿足的所有四位數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1)所示,E是矩形ABCD的邊AD上一邊,動(dòng)點(diǎn)P,Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā),點(diǎn)P沿折線運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止,點(diǎn)Q沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止,它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/秒,設(shè)P,Q同時(shí)出發(fā)t秒后時(shí),的面積為,已知與的函數(shù)關(guān)系圖像如圖(2)(曲線OM為拋物線的一部分),則當(dāng)t的值是___________時(shí),面積為4.
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