【題目】如圖1,該拋物線是由y=x2平移后得到,它的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣,﹣),并與坐標(biāo)軸分別交于A,B,C三點(diǎn).
(1)求A,B的坐標(biāo).
(2)如圖2,連接BC,AC,在第三象限的拋物線上有一點(diǎn)P,使∠PCA=∠BCO,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
(3)如圖3,直線y=ax+b(b<0)與該拋物線分別交于P,G兩點(diǎn),連接BP,BG分別交y軸于點(diǎn)D,E.若ODOE=3,請?zhí)剿?/span>a與b的數(shù)量關(guān)系.并說明理由.
【答案】(1);(2);(3)b=4a+3,理由見解析.
【解析】
(1)根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫出頂點(diǎn)式,化頂點(diǎn)式為一般式,分別令x=0或y=0即可求出A、B的坐標(biāo);
(2)直線CP交x軸于點(diǎn)H,故點(diǎn)H作HG⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)G,根據(jù)tan∠BCO=tan∠PCA解直角三角形即可求出H點(diǎn)坐標(biāo),由此可求得直線CH的表達(dá)式,聯(lián)立二次函數(shù)解析式即可求得點(diǎn)P坐標(biāo);
(3)直線BP的表達(dá)式為:y=(m+4)x-(m+4)、直線BG的表達(dá)式為:y=(n+4)x-(n+4),故OD=-(m+4),OE=(n+4),ODOE=-(m+4)(n+4)=3,即-[mn+4(m+n)+16]=3,而m+n=a-3,mn=-b-4,即可求解.
解:(1)拋物線的表達(dá)式為:y=(x+)2﹣=x2+3x﹣4…①,
令x=0,則y=﹣4,故點(diǎn)C(0,﹣4);
令y=0,則x=-4或1,
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為:(﹣4,0)、(1,0);
(2)如圖,設(shè)直線CP交x軸于點(diǎn)H,故點(diǎn)H作HG⊥AC交AC的延長線于點(diǎn)G,
tan∠BCO===tan∠PCA,
∵OA=OC=4,故∠BAC=45°=∠GAH,
設(shè)GH=GA=x,則GC=4x,故AC=GC﹣GA=3x=4,
解得:x=,
則AH=x=,故點(diǎn)H(﹣,0),
設(shè)CH的表達(dá)式為:y=kx+b,
將C、H的坐標(biāo)代入得,解得,
∴CH的表達(dá)式為:y=﹣x﹣4…
聯(lián)立①②并解得:x=0(舍去)或,
故點(diǎn)P(﹣,﹣);
(3)設(shè)點(diǎn)P、G的坐標(biāo)分別為:(m,m2+3m﹣4)、(n,n2+3n﹣4),
由點(diǎn)P、B的坐標(biāo)得,直線PB的表達(dá)式為:y=(m+4)x﹣(m+4);
同理直線BG的表達(dá)式為:y=(n+4)x﹣(n+4);
故OD=﹣(m+4),OE=(n+4),
直線y=ax+b(b<0)…③,
聯(lián)立①③并整理得:x2+(3﹣a)x﹣b﹣4=0,
故m+n=a﹣3,mn=﹣b﹣4,
ODOE=﹣(m+4)(n+4)=3,
即﹣[mn+4(m+n)+16]=3,而m+n=a﹣3,mn=﹣b﹣4,
整理得:b=4a+3.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(1)問題發(fā)現(xiàn)
如圖1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,連接AC,BD交于點(diǎn)M.填空:
①的值為 ;
②∠AMB的度數(shù)為 .
(2)類比探究
如圖2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,連接AC交BD的延長線于點(diǎn)M.請判斷的值及∠AMB的度數(shù),并說明理由;
(3)拓展延伸
在(2)的條件下,將△OCD繞點(diǎn)O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn),AC,BD所在直線交于點(diǎn)M,若OD=1,OB=,請直接寫出當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)M重合時AC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某書店以元的價格購進(jìn)一批科普書進(jìn)行銷售,物價局根據(jù)市場行情規(guī)定,銷售單價不低于元且不高于元.在銷售中發(fā)現(xiàn),該科普書的每天銷售數(shù)量(本)與銷售單價(元)之間存在某種函數(shù)關(guān)系,對應(yīng)如下:
銷售單價(元) | |||||
銷售數(shù)量(本) |
(1)用你所學(xué)過的函數(shù)知識,求出與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)請問該科普書每天利潤(元)的最大值是多少?
(3)如果該科普書每天利潤必須不少于元,試求出每天銷售數(shù)量最少為多少本?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD的邊長為20cm,∠ABC=120°.動點(diǎn)P、Q同時從點(diǎn)A出發(fā),其中P以4cm/s的速度,沿A→B→C的路線向點(diǎn)C運(yùn)動;Q先以2cm/s的速度沿A→O的路線向點(diǎn)O運(yùn)動,然后再以2cm/s的速度沿O→D的路線向點(diǎn)D運(yùn)動,當(dāng)P、Q到達(dá)終點(diǎn)時,整個運(yùn)動隨之結(jié)束,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.
(1)在點(diǎn)P在AB上運(yùn)動時,判斷PQ與對角線AC的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若點(diǎn)Q關(guān)于菱形ABCD的對角線交點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為M,過點(diǎn)P且垂直于AB的直線l交菱形ABCD的邊AD(或CD)于點(diǎn)N.
①直接寫出當(dāng)△PQM是直角三角形時t的取值范圍;
②是否存在這樣的t,使△PMN是以PN為一直角邊的直角三角形?若存在,請求出所有符合條件的t的值;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的邊AB的解析式為y=ax+2,頂點(diǎn)C,D在雙曲線y=(k>0)上.若AB=2AD,則k=_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某養(yǎng)豬場對豬舍進(jìn)行噴藥消毒.在消毒的過程中,先經(jīng)過的藥物集中噴灑,再封閉豬舍,然后再打開窗戶進(jìn)行通風(fēng).已知室內(nèi)每立方米空氣中含藥量()與藥物在空氣中的持續(xù)時間()之間的函數(shù)圖象如圖所示,其中在打開窗戶通風(fēng)前與分別滿足兩個一次函數(shù),在通風(fēng)后與滿足反比例函數(shù).
(1)求反比例函數(shù)的關(guān)系式;
(2)當(dāng)豬舍內(nèi)空氣中含藥量不低于且持續(xù)時間不少于,才能有效殺死病毒,問此次消毒是否有效?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】滴滴快車是一種便捷的出行工具,某地的計價規(guī)則如表:
小李與小張分別從不同地點(diǎn),各自同時乘坐滴滴快車,到同一地點(diǎn)相見,已知到達(dá)約定地點(diǎn)時他們的實(shí)際行車?yán)锍谭謩e為7公里與9公里,兩人付給滴滴快車的乘車費(fèi)相同.其中一人先到達(dá)約定地點(diǎn),他等候另一人的時間等于他自己實(shí)際乘車時間,且恰好是另一人實(shí)際乘車時間的一半,則小李的乘車費(fèi)為_____元.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某便利店的咖啡單價為10元/杯,為了吸引顧客,該店共推出了三種會員卡,如下表:
會員卡類型 | 辦卡費(fèi)用/元 | 有效期 | 優(yōu)惠方式 |
A類 | 40 | 1年 | 每杯打九折 |
B類 | 80 | 1年 | 每杯打八折 |
C類 | 130 | 1年 | 一次性購買2杯,第二杯半價 |
例如,購買A類會員卡,1年內(nèi)購買50次咖啡,每次購買2杯,則消費(fèi)元.若小玲1年內(nèi)在該便利店購買咖啡的次數(shù)介于75~85次之間,且每次購買2杯,則最省錢的方式為( )
A.購買A類會員卡B.購買B類會員卡
C.購買C類會員卡D.不購買會員卡
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【題目】二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)(4,-5)和(0,3),且與x軸交于點(diǎn)M(-1,0)和N,
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)如果這二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn),求△OPN的面積.
(3)如果點(diǎn)R與點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱,判定以M、N、P、R為頂點(diǎn)的四邊形的邊之間的位置與度量關(guān)系.
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