【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線yax2+bx+ca≠0)的圖象與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C0,3),且拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4).

1)求拋物線的解析式;

2)如圖2,點(diǎn)D是第一象限拋物線上的一點(diǎn),ADy軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,設(shè)CDE的面積為S,求Sm的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出自變量的取值范圍);

3)在(2)的條件下,連接AC,是否存在這樣的點(diǎn)D,使得∠DAB2ACO,若存在,求點(diǎn)D的坐標(biāo)及相應(yīng)的S的值,若不存在,請說明理由.

【答案】(1)拋物線的表達(dá)式為:y=x2+2x+3(2)S=m2;(3)存在,點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,),相應(yīng)的S的值為

【解析】

(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為:()2+4,將C的坐標(biāo)代入,即可求解;

(2)S=SCED =CExD=m2

(3)求出sinACM==sinDAB,則tanDAB=,得到直線AE的表達(dá)式,即可求解.

(1)設(shè)拋物線的表達(dá)式為:()2()2+4,

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得:()2+4=3

解得:,

∴拋物線的表達(dá)式為:()2+4①;

(2)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m,則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,﹣m2+2m+3),

設(shè)直線AD的表達(dá)式為:,

,解得

∴直線AD的表達(dá)式為:,

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,),則,

S=SCED =CExD=mm=m2

(3)存在,理由:

,則()2+4=0,

解得:

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(),

OB上截取OM=OA=1,故點(diǎn)M(10),

則∠MCO=ACO,

∵∠DAB=2ACO,

∴∠ACM=DAB

在△ACM中,設(shè)CM邊上的高為h

AC=MC==,

SAMC=,即2×3=h

解得:h=,

在△ACM中,sinACM====sinDAB,

tanDAB=

RtAOE中,OA=1,tanDAB=,

OE=,故點(diǎn)E(0,),

設(shè)直線AE的表達(dá)式為:,

,解得:,

∴直線AE的表達(dá)式為:y=x+②,

聯(lián)立①②并解得:=或﹣1(舍去﹣1),

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(),

(2)知,S=m2 ==,

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(,),相應(yīng)的S的值為

練習(xí)冊系列答案
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1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;

2)如圖1所示,過點(diǎn)PPM∥y軸,分別交直線ABx軸于點(diǎn)C、D,若以點(diǎn)P、BC為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)A、CD為頂點(diǎn)的三角形相似,求點(diǎn)P的坐標(biāo);

3)如圖2所示,過點(diǎn)PPQ⊥AB于點(diǎn)Q,連接PB,當(dāng)△PBQ中有某個角的度數(shù)等于∠OAB度數(shù)的2倍時(shí),請直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

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x(天)

……

5

7

……

p(元/件)

……

248

264

……

1)求商品的售價(jià)p(元/件)與保存時(shí)間第x(天)之間的函數(shù)關(guān)系式;

2)求保存第幾天時(shí),該商品不賺也不虧;

3)請你幫助該公司確定在哪一天賣出,每件商品能獲得最大利潤,此時(shí)每件商品的售價(jià)是多少?

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