【題目】問題發(fā)現(xiàn):

1)如圖1,在RtABC中,∠BAC=30°,∠ABC90°,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC BCD的度數(shù)是  ;線段BD,AC之間的數(shù)量關(guān)系是  

類比探究:

2)在RtABC中,∠BAC=45°,∠ABC90°,將線段AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角α=2∠BAC,請問(1)中的結(jié)論還成立嗎?;

拓展延伸:

3)如圖3,在RtABC中,AB2,AC4,∠BDC90°,若點(diǎn)P滿足PBPC,∠BPC90°,請直接寫出線段AP的長度.

【答案】1120°,BD=AC;(2)不成立,理由詳見解析;(3

【解析】

1)過點(diǎn)DDEBC,通過線段之間的轉(zhuǎn)換得到ACDE之間的關(guān)系,在直角三角形BDE中通過BDDE的關(guān)系,得到BD,AC之間的關(guān)系.

2)類比(1)的解法,找線段之間的關(guān)系.

(3)分情況進(jìn)行討論,畫出符合題意得圖形進(jìn)行求解.

解:(1)如圖3,過點(diǎn)DDEBC,垂足為E,設(shè)BC=m

RtABC中,∠BAC=30°,由BC=AB·tan30°,BC=AC·sin30°,得AC=2m,BC=m,

AC=AD,∠CAD=2×30°=60°∴△ACD為等邊三角形,∴∠ACD=60°,CD=AC=2m,

∴∠BCD=60°×2=120°,在RtDEC中,∠DCE=180°-120°=60°,DC=2m,∴CE=CD·cos60°=mDE=CE·tan60°=m,∴在RtBED中,BD==,

==,故BD=AC.故答案為:120°;BD=AC

2)不成立,理由如下:

設(shè)BC=n,在RtABC中,∠BAC=45°,∠ABC=90°,∴BC=AB=m,AC=BC=n,

AC=AD,∠CAD=90°∴△CAD為等腰直角三角形,∴∠ACD=45°,CD=AC= 2n,

∴∠BCD=2×45°=90°,在RtBCD中,BD==

==,,故BD=AC.答案為:90°;BD=AC.故結(jié)論不成立.

3AP的長為.;解答如下:

PB=PC,點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上,∵∠BAC=∠BCP=90°,故A、B、C、P四點(diǎn)共圓,以線段BC的中點(diǎn)為圓心構(gòu)造⊙O,如圖4,圖5,分類討論如下:

當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上方時(shí),如圖4,作PMAC,垂足為M,設(shè)PM=x

PB=PC∠BPC=90°,∴△PBC為等腰直角三角形,∴∠PBC=45°,

∠PAC=∠PBC=45°,∴△AMP為等腰直角三角形,∴AM=PM=x,AP=PM=x,

RtABC中,AB=2,AC=4,∴BC==,∴PC=BC·sin45°=,

RtPMC中,∵∠PMC=90°,PM=xPC=,CM=4-x,

解得:(舍),∴AP==

②當(dāng)點(diǎn)P在直線BC的下方時(shí),如圖5,作PNAB的延長線,垂足為N,設(shè)PN=y

同上可得PB=,△PAN為等腰三角形,∴AN=PN=y,∴BN=y-2,

Rt△PNB中,∵∠PNB=90°,PN=y,BN=y-2,PB=,,

解得:,(舍),∴AP==.故AP的長度為:

練習(xí)冊系列答案
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