【題目】如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,BC交直徑AD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,垂足為F.連接OC.

(1)若∠G=48°,求∠ACB的度數(shù);

(2)若AB=AE,求證:∠BAD=∠COF;

(3)(2)的條件下,連接OB,設(shè)△AOB的面積為S1,△ACF的面積為S2.若tan∠CAF=,求的值.

【答案】(1)48°(2)證明見解析(3)

【解析】

(1)連接CD,根據(jù)圓周角定理和垂直的定義可得結(jié)論;
(2)先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得:∠ABE=∠AEB,再證明∠BCG=∠DAC,可得 ,則所對(duì)的圓周角相等,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角和圓心角的關(guān)系可得結(jié)論;
(3)過(guò)O作OG⊥AB于G,證明△COF≌△OAG,則OG=CF=x,AG=OF,設(shè)OF=a,則OA=OC=2x-a,根據(jù)勾股定理列方程得:(2x-a)2=x2+a2,則a=x,代入面積公式可得結(jié)論.

(1)連接CD,

∵AD是⊙O的直徑,

∴∠ACD=90°,

∴∠ACB+∠BCD=90°,

∵AD⊥CG,

∴∠AFG=∠G+∠BAD=90°,

∵∠BAD=∠BCD,

∴∠ACB=∠G=48°;

(2)∵AB=AE,

∴∠ABE=∠AEB,

∵∠ABC=∠G+∠BCG,∠AEB=∠ACB+∠DAC,

由(1)得:∠G=∠ACB,

∴∠BCG=∠DAC,

,

∵AD是⊙O的直徑,AD⊥PC,

,

∴∠BAD=2∠DAC,

∵∠COF=2∠DAC,

∴∠BAD=∠COF;

(3)過(guò)O作OG⊥AB于G,設(shè)CF=x,

∵tan∠CAF== ,

∴AF=2x,

∵OC=OA,由(2)得:∠COF=∠OAG,

∵∠OFC=∠AGO=90°,

∴△COF≌△OAG,

∴OG=CF=x,AG=OF,

設(shè)OF=a,則OA=OC=2x﹣a,

Rt△COF中,CO2=CF2+OF2,

∴(2x﹣a)2=x2+a2,

a=x,

∴OF=AG=x,

∵OA=OB,OG⊥AB,

∴AB=2AG=x,

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