Question

【題目】如圖，∠ABC＝∠ACB，BD、CD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP、外角∠MBC，以下結(jié)論：①AD∥BC；②DB⊥BE；③∠BDC+∠ABC＝90°；④∠A+2∠BEC＝180°．其中正確的結(jié)論有_____．（填序號）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

根據(jù)角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)、平行線的判定一一判斷即可．

解：①設(shè)點A,B在直線MF上,

∵BD、CD分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠ACP，

∴AD平分△ABC的外角∠FAC，

∴∠FAD＝∠DAC，

∵∠FAC＝∠ACB+∠ABC，且∠ABC＝∠ACB，

∴∠FAD＝∠ABC，

∴AD∥BC，故①正確．

②∵BD、BE分別平分△ABC的內(nèi)角∠ABC、外角∠MBC，

∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABC+∠MBC＝×180°＝90°，

∴EB⊥DB，故②正確，

③∵∠DCP＝∠BDC+∠CBD，2∠DCP＝∠BAC+2∠DBC，

∴2（∠BDC+∠CBD）＝∠BAC+2∠DBC，

∴∠BDC＝∠BAC，

∵∠BAC+2∠ACB＝180°，

∴∠BAC+∠ACB＝90°，

∴∠BDC+∠ACB＝90°，故③正確，

④∵∠BEC＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（180°+∠BAC），

∴∠BEC＝90°﹣∠BAC，

∴∠BAC+2∠BEC＝180°，故④正確，

故答案為：①②③④．