Question

已知△ABC是等邊三角形，E是AC邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊延長線上一點(diǎn)，且CF=AE，連接BE、EF．
（1）如圖1，若E是AC邊的中點(diǎn)，猜想BE與EF的數(shù)量關(guān)系為

 

．
（2）如圖2，若E是線段AC上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，上述線段BE、EF的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明．
（3）如圖3，若E是線段AC延長線上的任意一點(diǎn)，其它條件不變，上述線段BE、EF的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，寫出你的猜想并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得∠CBE=

1

2

∠ABC=30°，AE=CE，所以CE=CF，然后等邊對等角的性質(zhì)可得∠F=∠CEF，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠F=30°，從而得到∠CBE=∠F，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)即可證明；
（2）圖2，過點(diǎn)E作EG∥BC，交AB于點(diǎn)G，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合∠ABC=60°可得△ABC是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AB=AC，∠ACB=60°，再求出△AGE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AG=AE，從而可以求出BG=CE，再根據(jù)等角的補(bǔ)角相等求出∠BGE=∠ECF=120°，然后利用“邊角邊”證明△BGE和△ECF 全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；
（3）圖3，證明思路與方法與圖2完全相同．

解答：（1）答：猜想BE與EF的數(shù)量關(guān)系為：BE=EF；
證明：（1）∵△ABC是等邊三角形，E是線段AC的中點(diǎn)，
∴∠CBE=

1

2

∠ABC=30°，AE=CE，
∵AE=CF，
∴CE=CF，
∴∠F=∠CEF，
∵∠F+∠CEF=∠ACB=60°，
∴∠F=30°，
∴∠CBE=∠F，
∴BE=EF；

（2）答：猜想BE=EF．
證明如下：如圖2，過點(diǎn)E作EG∥BC，交AB于點(diǎn)G，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等邊三角形，
∴AG=AE，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
在△BGE與△ECF中，

BG=CE ∠BGE=∠ECF=120° GE=CF

，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF； 

（3）BE=EF．
證明如下：如圖3，過點(diǎn)E作EG∥BC交AB延長線于點(diǎn)G，
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE=∠ABC=60°，
又∵∠BAC=60°，
∴△AGE是等邊三角形，
∴AG=AE，
∴BG=CE，
又∵CF=AE，
∴GE=CF，
又∵∠BGE=∠ECF=60°，
∴在△BGE與△ECF中，

BG=EC ∠BGE=∠ECF=60° GE=CF

，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE=EF．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作出輔助線，利用等邊三角形的性質(zhì)找出全等的條件是解題的關(guān)鍵．