Question

9．已知，如圖，在△ABC中，AB=12，BC=13，以BC為斜邊作等腰直角△BCD，E為AC邊中點，若∠BAD=45°，求DE的長．

Answer 1

分析 由題目條件不能直接求出DE的長，這就意味著需要轉(zhuǎn)化，注意到E為中點，如果能讓D點也成為中點，那么DE就是中位線，而△BCD又是等腰直角角三角形，于是只需將△BCD沿BD翻折至△FBD，則D點就是FC的中點，DE就是△CFA的中位線，進(jìn)而只需求出AF的長就可以了，翻折之后，∠DFB=∠BAD=45°，于是F，B，D，A四點共圓，從而∠FAB=90°，而BF=BC=13，A=12，AF=5，結(jié)果不言而喻．

解答 解：將△BCD沿BD翻折至△FBD，連接AF，如圖，

∵△BCD是等腰直角三角形，BD=CD，
∴FD=CD=BD，∠DFB=45°，BF=BC=13，
∵∠BAD=45°，
∴FBDA四點共圓，
∴∠FAB=∠FDB=90°，
∵AB=12，
∴AF=5，
∵AE=EC，
∴DE=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、四點共圓的判定與性質(zhì)、勾股定理、中位線等知識點，題目雖小，難度卻不小，是一道妙題，值得品味．通過翻折將D點變?yōu)橹悬c，從而將DE變?yōu)橹形痪�是解答本題的難點和技巧所在．