19．如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D為AB延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC
（1）若∠CAE=30°，求∠BCD的度數(shù)．
（2）求證：AE⊥CD．

分析 （1）由全等三角形對應(yīng)角相等得到∠AEB=∠CDB，利用外角的性質(zhì)求出∠AEB的度數(shù)，即可確定出∠BDC的度數(shù)；
（2）根據(jù)三角形全等得到∠BAE=∠BCD，再利用直角之間的關(guān)系即可得到∠EFC=90°，結(jié)論即可得出．

解答 （1）證明：在△ABE和△CBD中，延長AE與DC相交于點(diǎn)F，如圖：

在RT△ABE與RT△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BD}\\{AB=BC}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△CBD（HL），
∴∠AEB=∠BDC，
∵∠AEB為△AEC的外角，
∴∠AEB=∠ACB+∠CAE=30°+45°=75°，
則∠BDC=75°；
（2）∵△ABE≌△CBD，
∴∠BAE=∠BCD，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BCD+∠CEF=90°，
∴∠EFC=90°，
即AF⊥DC．

點(diǎn)評 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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9．已知，如圖，在△ABC中，AB=12，BC=13，以BC為斜邊作等腰直角△BCD，E為AC邊中點(diǎn)，若∠BAD=45°，求DE的長．

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10．?dāng)?shù)學(xué)問題：計(jì)算$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{3}}+…+\frac{1}{{m}^{n}}$*（其中m，n都是正整數(shù)，且m≥2，n≥1）
探究問題：為解決上面的數(shù)字問題，我們運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，通過不斷地分割一個(gè)面積為1的正方形，把數(shù)量關(guān)系和幾何圖形巧妙地結(jié)合起來，并采取一般問題特殊化的策略來進(jìn)行探究．
探究一：計(jì)算$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$
第1次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為$\frac{1}{2}$；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，陰影部分的面積之和為$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)二等分，…；
…
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$，最后空白部分的面積是$\frac{1}{{2}^{n}}$．
根據(jù)第n次分割圖可得等式：$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

探究二：計(jì)算$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$．
第1次分割，把正方形的面積三等分，其中陰影部分的面積為$\frac{2}{3}$；
第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，陰影部分的面積之和為$\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}$；
第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續(xù)三等分，…；
…
第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后三等分，所有陰影部分的面積之和為$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$，最后空白部分的面積是$\frac{1}{{3}^{n}}$．
根據(jù)第n次分割圖可得等式：$\frac{2}{3}$+$\frac{2}{{3}^{2}}+\frac{2}{{3}^{3}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}$=1-$\frac{1}{{3}^{n}}$．
兩邊同除以2，得$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2×{3}^{n}}$\

探究三：計(jì)算$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+..+\frac{1}{{4}^{n}}$．
（仿照上述方法，只畫出第n次分割圖，在圖上標(biāo)注陰影部分面積，并寫出探究過程）

解決問題：根據(jù)前面探究結(jié)果：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$
$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{3}^{3}}+…+\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2×{3}^{n}}$
$\frac{1}{4}+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{4}^{3}}+..+\frac{1}{{4}^{n}}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{3×{4}^{n}}$．
…
推出：$\frac{1}{m}+\frac{1}{{m}^{2}}+\frac{1}{{m}^{3}}+…+\frac{1}{{m}^{n}}$=$\frac{1}{m-1}$-$\frac{1}{（m-1）{m}^{n}}$．（只填空，其中m、n都是正整數(shù)，且m≥2，n≥1）
拓廣應(yīng)用：計(jì)算$\frac{5-1}{5}+\frac{{5}^{2}-1}{{5}^{2}}+\frac{{5}^{3}-1}{{5}^{3}}+…+\frac{{5}^{n}-1}{{5}^{n}}$．

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7．閱讀下列材料：
在數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課上，某小組探究了這樣一個(gè)問題：已知x-y=3，且x＞4，y＜3，試確定x+y的取值范圍．他們是這樣解答的：
解：∵x-y=3，
∴x=y+3，
又∵x＞4，
∴y+3＞4，
∴y＞1，
又∵y＜3，
∴1＜y＜3…①，
同理可得：4＜x＜6…②，
由①+②得4+1＜x+y＜3+6
∴x+y的取值范圍是5＜x+y＜9．
請仿照上述方法，解決下列問題：已知x+y=2，且x＞1，y＞-4，試確定x-y的取值范圍．

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14．已知：當(dāng)x=-3和x=2時(shí)，代數(shù)式kx+b的值分別是-4和11．
（1）求k和b的值；
（2）當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式kx+b的值比$\frac{1}{2}$（kx-b）的值��？

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4．已知二次方程mx2+（3m-2）x+2m-2=0有一個(gè)大于-2的負(fù)根，一個(gè)小于3的正根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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11．計(jì)算$\frac{（{3}^{4}+4）（{7}^{4}+4）（1{1}^{4}+4）}{（{1}^{4}+4）（{5}^{4}+4）（{9}^{4}+4）}$=145．

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8．（1）計(jì)算：$\sqrt{18}$-（$\sqrt{2}$+1）-1+（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）0
（2）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br />①x2-12x-4=0；
②（x-1）2+2x（x-1）=0．

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9．用直尺作圖（不寫畫法），已知如圖，AB是線段，C，D是兩點(diǎn)．
（1）過A、C兩點(diǎn)作直線AC，過B、D兩點(diǎn)作直線BD，直線AC與BD交于點(diǎn)E．
（2）連接BC和AD，BC和AD交于點(diǎn)F．

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