Question

【題目】在矩形ABCD中，AC、BD交于點O，點P、E分別是直線BD、BC上的動點，且PE＝PC，過點E作EF∥AC交直線BD于點F．

（1）如圖1，當∠COD＝90°時，判斷△BEF的形狀，并說明理由；

（2）如圖2，當點P在線段BO上時，求證：OP＝BF；

（3）當∠COD＝60°，CD＝3時，請直接寫出當△PEF成為直角三角形時的面積．

Answer 1

【答案】（1）△BEF是等腰直角三角形，理由見解析；（2）見解析；（3）當△PEF成為直角三角形時的面積是．

【解析】

（1）根據對角線互相垂直的矩形是正方形判定矩形ABCD是正方形，再由平行線的性質和正方形的性質得∠FEB=45°，從而得：△BEF是等腰直角三角形；
（2）根據AAS證明△PEF≌△COP，可得結論；
（3）根據∠COD=60°，得△COD是等邊三角形，則OC=CD=3，證明△PFE≌△COP（ASA），得PF=OC=3，根據直角三角形30度角的性質計算PE和EF的長，根據三角形的面積公式可得結論．

（1）△BEF是等腰直角三角形.

理由是：

如圖1，∵∠COD＝90°，

∴AC⊥BD，

∴矩形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，

∵EF∥AC，

∴∠FEB＝∠ACB＝45°，∠F＝∠BOC＝90°，

∴△BEF是等腰直角三角形.

（2）如圖2，∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，

∴OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB

∵PE＝PC，

∴∠BEP＝∠PCB，

∵∠OBC＝∠BEP+∠EPB，∠OCB＝∠PCB+∠OCP，

∴∠EPB＝∠OCP

∵EF∥AC，

∴∠COP＝∠BFE，

∴△PEF≌△CPO（AAS），

∴OC＝PF＝OB，

∴OB﹣PB＝PF﹣PB，

即OP＝BF

（3）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OD=BD，OC=AC，
∴OD=OC，
∵∠COD=60°，
∴△COD是等邊三角形，
∴OC=CD=3，
如圖3，當∠PEF=90°時，

∵EF∥AC，
∴∠POC=∠OFE=60°，
∴∠BFE=120°，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=∠FEB=30°，
∵∠FEP=90°，
∴∠PEC=60°，
∵PE=PC，
∴△PEC是等邊三角形，
∴∠PCB=60°，
∴∠PCO=60°-30°=30°=∠FPE，
∴△PFE≌△COP（ASA），
∴PF=OC=3，
Rt△PFE中，EF=，PE= ，
∴S△PEF=EFPE=××=；

∴當△PEF成為直角三角形時的面積是.