Question

17．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-1，0），點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)是（0，4），拋物線過A、B、C三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式．
（2）點(diǎn)N事拋物線上的一點(diǎn)（點(diǎn)N在直線AC上方），過點(diǎn)N作NG⊥x軸，垂足為G，交AC于點(diǎn)H，當(dāng)線段ON與CH互相平分時(shí)，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)．
（3）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為直線L，頂點(diǎn)為K，點(diǎn)C關(guān)于L的對(duì)稱點(diǎn)J，x軸上是否存在一點(diǎn)Q，y軸上是否一點(diǎn)R使四邊形KJQR的周長(zhǎng)最小？若存在，請(qǐng)求出周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可得NH與OC的關(guān)系，根據(jù)解方程，可得m的值，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得答案；
（3）根據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線短兩端點(diǎn)的距離相等，可得DR與DK的長(zhǎng)，QJ與QE的關(guān)系，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可得KR+RQ+QJ=ED，根據(jù)勾股定理，可得DE的長(zhǎng)，KJ的長(zhǎng)．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，將A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\\{c=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
拋物線的解析式為y=-x²+3x+4；
（2）如圖1，
設(shè)AC的解析式為y=kx+b，將A、C點(diǎn)坐標(biāo)代入，得
$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
AC的解析式為y=-x+4，
設(shè)N（m，-m²+3m+4），H（m，-m+4）．
NH=-m²+4m．
由線段ON與CH互相平分，得
NH=OC=4，
即-m²+4m=4，
解得m=2，-m²+3m+4=6，即N（2，6），
當(dāng)線段ON與CH互相平分時(shí)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（2，6）；
（3）如圖2，
作K點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，作J點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，連接DE交y軸于R交x軸于Q點(diǎn)，
y=-x²+3x+4=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，頂點(diǎn)K（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）．
由點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸L=$\frac{3}{2}$的對(duì)稱點(diǎn)J，C（0，4），得
J點(diǎn)坐標(biāo)為（3，4）．
由K點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D，K（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$），得
D點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{4}$）．
由J點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E，J（3，4），得
E點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，-4）．
由勾股定理，得KJ=$\sqrt{（3-\frac{3}{2}）^{2}+（4-\frac{25}{4}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{4}$；
DE=$\sqrt{（3+\frac{3}{2}）^{2}+（-4-\frac{25}{4}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2005}}{4}$，
KJQR的周長(zhǎng)最小=KR+RQ+QJ+KJ=DE+KJ=$\frac{\sqrt{2005}}{4}$+$\frac{3\sqrt{17}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；利用平行四邊形的判定與性質(zhì)得出關(guān)于m的方程是解題關(guān)鍵，利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出DR與DK的長(zhǎng)，QJ與QE的關(guān)系是解題關(guān)鍵．