Question

12．如圖，△ABC和△DEF是兩個全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的頂點E與△ABC的斜邊BC的中點重合．將△DEF繞點E旋轉，旋轉過程中，線段DE與線段AB相交于點P，線段EF與射線CA相交于點Q．
（1）如圖①，當點Q在線段AC上，求證：△BPE∽△CEQ；
（2）如圖①，當點Q在線段AC上，當AP=4，BP=8時，求P、Q兩點間的距離；
（3）如圖②，當點Q在線段CA的延長線上，若BP=2a，CQ=9a，求PE：EQ的值，并直接寫出△EPQ的面積 （用含a的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析 （1）由△ABC和△DEF是兩個等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，得到∠2=∠4，又由∠B=∠C=45°，即可證得：△BPE∽△CEQ；
（2）連接PQ．根據(jù)△BPE∽△CEQ，得到對應邊成比例，計算得到CQ=9，AQ=3，由勾股定理可得PQ=5；
（3）根據(jù)△BPE∽△CEQ，得到$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BE}{CQ}$，求出BE=CE=3$\sqrt{2}$a，計算即可求出PE：EQ的值，連接PQ，作PH⊥BC于H，PG⊥EF于G，根據(jù)等腰直角三角形的性質求出QE、PG，根據(jù)三角形的面積公式計算即可．

解答 （1）證明：連接PQ，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=45°，
∴∠1+∠2=135°，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠3=45°，
∴∠1+∠4=135°，
∴∠2=∠4，
∵∠B=∠C=45°，
∴△BPE∽△CEQ；
（2）∵AP=4，BP=8，
∴AB=AC=12，
∴BC=12$\sqrt{2}$，
∵由（1）知，△BPE∽△CEQ，
∴$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BE}{CQ}$，
∴$\frac{8}{6\sqrt{2}}$=$\frac{6\sqrt{2}}{CQ}$，
∴CQ=9，
∴AQAC-CQ=3，又AP=4，
∴PQ=5；
（3）∵△BPE∽△CEQ，
∴$\frac{BP}{CE}$=$\frac{BE}{CQ}$，即$\frac{2a}{CE}$=$\frac{BE}{9a}$，
解得，BE=CE=3$\sqrt{2}$a，
∴PE：EQ=BP：CE=$\sqrt{2}$：3，
如圖②，連接PQ，作PH⊥BC于H，PG⊥EF于G，
∵∠B=45°，BP=2a，
∴PH=BH=$\sqrt{2}$a，又BE=3$\sqrt{2}$a，
∴HE=2$\sqrt{2}$a，
∴PE=$\sqrt{P{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{10}$a，
∴PG=GE=$\sqrt{5}$a，
∵PE：EQ=$\sqrt{2}$：3，
∴QE=3$\sqrt{5}$a，
∴△EPQ的面積=$\frac{1}{2}$×QE×PG=$\frac{15}{2}$a²．

點評 本題考查的是相似三角形的判定和性質以及等腰直角三角形的性質，靈活運用相似三角形的判定定理和性質定理是解題的關鍵，注意等腰直角三角形的兩個銳角都是45°的應用．