Question

17．將-張正方形紙片ABCD對(duì)折，使CD與AB重合，得到折痕MN后展開，E為CN上-點(diǎn)，將△CDE沿DE所在的直線折疊，使得點(diǎn)C落在折痕MN上的點(diǎn)F處，連接AF，BF，BD，則得下列結(jié)論：
①△ADF是等邊三角形；
②tan∠EBF=2-$\sqrt{3}$；
③S_△ADF=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}；
④BF²=DF•EF．
其中正確的是（　�。�

• A． ①②③
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②③④

Answer 1

分析 由正方形的性質(zhì)得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折疊的性質(zhì)得出MN垂直平分AD，F(xiàn)D=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出FD=FA，得出△ADF是等邊三角形，①正確；
設(shè)AB=AD=BC=4a，則MN=4a，BN=AM=2a，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，F(xiàn)A=AD=4a，F(xiàn)M=$\sqrt{3}$AM=2$\sqrt{3}$a，得出FN=MN-FM=（4-2$\sqrt{3}$）a，由三角函數(shù)的定義即可得出②正確；
求出△ADF的面積=$\frac{1}{2}$AD•FM=4$\sqrt{3}$a²，正方形ABCD的面積=16a²，得出③錯(cuò)誤；
求出∠BFE=∠DFB，∠BEF=∠DBF，證出△BEF∽△DBF，得出對(duì)應(yīng)邊成比例，得出④正確；即可得出結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
由折疊的性質(zhì)得：MN垂直平分AD，F(xiàn)D=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，
∴FD=FA，
∴AD=FD=FA，
即△ADF是等邊三角形，①正確；
設(shè)AB=AD=BC=4a，則MN=4a，BN=AM=2a，
∵△ADF是等邊三角形，
∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，F(xiàn)A=AD=4a，F(xiàn)M=$\sqrt{3}$AM=2$\sqrt{3}$a，
∴FN=MN-FM=（4-2$\sqrt{3}$）a，
∴tan∠EBF=$\frac{FN}{BN}$=$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$=2-$\sqrt{3}$，②正確；
∵△ADF的面積=$\frac{1}{2}$AD•FM=$\frac{1}{2}$×4a×2$\sqrt{3}$a=4$\sqrt{3}$a²，正方形ABCD的面積=（4a）²=16a²，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{16}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，③錯(cuò)誤；
∵AF=AB，∠BAF=90°-60°=30°，
∴∠AFB=∠ABF=75°，
∴∠DBF=75°-45°=30°，∠BFE=360°-90°-60°-75°=135°=∠DFB，
∵∠BEF=180°-75°-75°=30°=∠DBF，
∴△BEF∽△DBF，
∴$\frac{BF}{DF}=\frac{EF}{BF}$，
∴BF²=DF•EF，④正確；
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題是相似形綜合題目，考查了正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形是等邊三角形和證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．