Question

【題目】一般來說，依據(jù)數(shù)學(xué)研究對象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對象分為不同種類的數(shù)學(xué)思想叫做“分類”的思想；將事物進(jìn)行分類，然后對劃分的每一類分別進(jìn)行研究和求解的方法叫做“分類討論”的方法．請依據(jù)分類的思想和分類討論的方法解決下列問題：

如圖，在中，．

若是銳角，請?zhí)剿髟谥本�上有多少個(gè)點(diǎn)，能保證（不包括全等）？

請對進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸�，直接寫出每一類在直線上能保證（不包括全等）的點(diǎn)的個(gè)數(shù)？

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）此題應(yīng)分作三種情況考慮：①點(diǎn)D在線段AB上，若△ACD∽△ABC，已知的等量條件是公共角∠BAC，那么必須滿足∠ACD=∠ABC，由于∠ACB＞∠ABC，因此在線段AB上，有一個(gè)符合條件的D點(diǎn)；②點(diǎn)D在線段AB的延長線上，此時(shí)已知的等量條件仍為公共角∠BAC，由于∠ACD＞∠ACB＞∠ABC，因此這兩個(gè)三角形不可能相似，故在這種情況下，不存在符合條件的D點(diǎn)；③點(diǎn)D在線段AB的反向延長線上，由于∠BAC是銳角，那么∠BAC＜90°＜∠DAC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)知：∠CAD＞∠BCA＞∠ABC，因此這兩個(gè)三角形也不可能相似，故此種情況下也不存在符合條件的D點(diǎn)．

（2）可將∠BAC分作三種情況：①∠BAC是銳角，②∠BAC是直角，③∠BAC是鈍角；每種情況都可按照（1）題的分類討論法進(jìn)行求解．

解：①如圖，若點(diǎn)在線段上，由于，可以作一個(gè)點(diǎn)滿足，使得；

②如圖，若點(diǎn)在線段的延長線上，則，與條件矛盾，因此，這樣的點(diǎn)不存在；

③如圖，若點(diǎn)在線段的反向延長線上，由于是銳角，則，不可能有，因此，這樣的點(diǎn)不存在．

綜上所述，這樣的點(diǎn)有一個(gè)．

注：③中用“是鈍角，中只可能是鈍角，則”說明不存在點(diǎn)亦可．

若為銳角，由知，這樣的點(diǎn)有一個(gè)（如圖）；

若為直角，這樣的點(diǎn)有兩個(gè)（如圖）；

若為鈍角，這樣的點(diǎn)有個(gè)（如圖）．