Question

在△ABC中，∠ACB=90°，CB=a，CA=b，AB=c點P是BC上異于B、C的任一點，過P作AB的垂線與邊AB及AC的延長線分別交于R、Q．
（1）設(shè)PC=x，△PQC、△PBR的面積分別為S₁、S₂，試用x、a、b、c表示S₁+S₂；
（2）當(dāng)點P在BC上移動時，問x取何值時，有S₁+S₂最小值？并求出這個最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題中條件可得Rt△BPR∽△BAC，Rt△QPC∽Rt△BAC由對應(yīng)線段成比例可得線段BR、PR、QC的值，進而可求其面積；
（2）若使其面積之和最小，則只需（a-x）²=0，即x=a即可．
解答：解：（1）由題中條件可得Rt△BPR∽△BAC，∴==，即==，BR=，PR=，
同理Rt△QPC∽Rt△BAC，∴=，即=，QC=，
∴S₁+S₂=PC•QC+BR•PR=（x•+）

（2）S₁+S₂=PC•QC+BR•PR=（x•+）=，
若使S₁+S₂取最小值，則有（a-x）²=0，即x=a，即點P運動到點B時，其值最小，
S₁+S₂==．
點評：本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)以及三角形面積的求解，能夠在掌握的基礎(chǔ)上熟練掌握．