Question

已知拋物線y₁=x²+2ax+b經(jīng)過點A（2，4），頂點D在直線y₂=2x+1上．
（1）求a、b的值．
（2）求證：不論x取何值，函數(shù)的值y₁均不小于3．

Answer 1

考點：待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,拋物線與x軸的交點

專題：

分析：（1）先把A點坐標）代入y₁=x²+2ax+b得b=-4a，則把拋物線解析式配成頂點式得到D坐標為（-a，-a²-4a），然后把D（-a，-a²-4a）代入y₂=2x+1可計算出a的值，從而可得到b的值；
（2）當a=-1時可得到y(tǒng)₁=（x-1）²+3，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可證明不論x取何值，函數(shù)的值y₁均不小于3．

解答：（1）解：把點A（2，4）代入y₁=x²+2ax+b得4+4a+b=4，解得b=-4a，
所以y₁=x²+2ax+b=x²+2ax-4a=（x+a）²-a²-4a，
則拋物線頂點D坐標為（-a，-a²-4a），
把D（-a，-a²-4a）代入y₂=2x+1得-2a+1=-a²-4a，
整理得a²+2a+1=0，解得a=-1，
所以b=-4×（-1）=4，
即a，b的值分別為-1，4；
（2）證明：∵y₁=（x+a）²-a²-4a=（x-1）²+3，
∴拋物線的頂點坐標為（1，3），
∴函數(shù)有最小值3，即不論x取何值，函數(shù)的值y₁均不小于3．

點評：本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解．