Question

【題目】在下列正多邊形中，是中心，定義：為相應正多邊形的基本三角形．如圖1，是正三角形的基本三角形；如圖2，是正方形的基本三角形；如圖3，為正邊形…的基本三角形．將基本繞點逆時針旋轉角度得．

（1）若線段與線段相交點，則：

圖1中的取值范圍是________；

圖3中的取值范圍是________；

（2）在圖1中，求證

（3）在圖2中，正方形邊長為4，，邊上的一點旋轉后的對應點為，若有最小值時，求出該最小值及此時的長度；

（4）如圖3，當時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析；（3）最小值：，此時＝2+；（4）

【解析】

（1）根據正多邊形的中心角的定義即可解決問題；

（2）如圖1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，連接．利用全等三角形的性質分別證明：BE＝，即可解決問題；

（3）如圖2中，作點O關于BC的對稱點E，連接OE交BC于K，連接交BC于點，連接，此時的值最小，即有最小值．

（4）利用等腰三角形三線合一的性質即可解決問題；

（1）由題意圖1中，∵△ABC是等邊三角形，O是中心，

∴∠AOB＝120°

∴∠α的取值范圍是：0°＜α≤120°，

圖3中，∵ABCDEF…是正n邊形，O是中心，

∴∠BOC＝，

∴∠α的取值范圍是：0°＜α≤，

故答案為：0°＜α≤120°，0°＜α≤．

（2）如圖1中，作OE⊥BC于E，OF⊥于F，連接．

∵∠OEB＝∠OF＝90°，

根據題意，O是中心，∴OB＝OC，

∴∠OBE＝∠，

∴△OBE≌△OF（AAS），

∴OE＝OF，BE＝F

∵，

∴Rt△≌Rt△（HL），

∴，

∴．

（3）如圖2中，作點O關于BC的對稱點E，連接OE交BC于K，連接交BC于點，連接，此時的值最小．

∵∠＝135°，∠BOC＝90°，

∴∠OCB＝∠＝45°，

∴∥BC，

∵OK⊥BC，OB＝OC，

∴BK＝CK＝2，OB＝2，

∵∥，OK＝KE，

∴，

∴＝＝，

∴＝2+，

在Rt△中，＝．

∵，

∴有最小值，最小值為，此時＝2+．

（4）如圖3中，

∵ABCDEF…是正n邊形，O是中心，

∴∠BOC＝，

∵OC⊥， ，

∴∠＝∠＝∠BOC＝，

∴α＝．