Question

已知拋物線y=x²-4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，以C為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ACP，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：先分別令x=0，y=0，求出拋物線y=x²-4與x軸的兩個交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，與y軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后由A點(diǎn)的坐標(biāo)分兩種情況進(jìn)行討論，結(jié)合圖形即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答：解：∵拋物線y=x²-4與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴令y=0，得：x²-4=0，
解得：x₁=2，x₂=-2，
∴A（2，0），B（-2，0）或A（-2，0），B（2，0）
∵拋物線y=x²-4與y軸交于點(diǎn)C，
∴令x=0，得：y=-4，
∴C（0，-4），
分兩種情況：
①當(dāng)A（2，0），C（0，-4）時(shí)，如圖（1）
∵以C為直角頂點(diǎn)作等腰Rt△ACP，
∴AC=CP₁，AC=CP₂，
過P₁作P₁D⊥y軸，垂足為D，過P₂作P₂E⊥y軸，垂足為E，
在△AOC和△CDP₁中，

∠P1DC=∠P2EC ∠DCP1=∠OAC AC=CP1

，
∴△AOC≌△CDP₁（AAS），
∴DC=OA=2，DP₁=OC=4，
∴OD=2，
∴P₁（-4，-2），
同理P₂（4，-6），

②當(dāng)A（-2，0），C（0，-4）時(shí)，如圖（2）
同①可得P₃（-4，-6），P₄（4，-2）

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的問題及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是：數(shù)形結(jié)合由A點(diǎn)的位置進(jìn)行分類討論．