Question

20．如圖，在等邊三角形ABC的AC、CB邊的延長(zhǎng)線上各取一點(diǎn)P、Q，使得AP=CQ，直線AQ，BP相交于點(diǎn)O，則∠BOQ=120°．

Answer 1

分析 由△ABC為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到AB=BC，∠ACB=∠ABC=60°，利用等角的補(bǔ)角相等得到夾角相等，利用SAS得到三角形ABQ與三角形BCP全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得到∠AQB=∠BPC，利用外角性質(zhì)及等量代換即可得證．

解答 證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=∠ABC=60°，
∴∠ABQ=∠BCP=120°，
∵AP=CQ，
∴AP-BC=CQ-BC．
即BQ=CP，
在△ABQ和△BCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABQ=∠BCP}\\{BQ=CP}\end{array}\right.$，
∴△ABQ≌△BCP（SAS），
∴∠AQB=∠BPC，
則∠AOB=∠OQB+∠OBQ=∠CPB+∠CBP=∠ACB=60°，
∴∠BOQ=180°-∠AOB=180°-60°=120°．
故答案為：120°．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．