Question

11．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，OC=3，交直線OD于D，直線OD的解析式為y=$\frac{3}{4}$x，點D的橫坐標為4．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）在（1）中如圖2，點P為y軸左側(cè)拋物線上一點，作PE⊥y軸，垂足為E，交拋物線另一側(cè)于F，連接CF，求PE•tan∠ECF的值；
（3）在（2）中如圖3，連接OP，M為y軸正半軸上一點，N為射線OD上一點，是否存在點P滿足OP=MN，∠PON+∠OMN=180°，且ON=2OM？若存在，求出此時P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得點C與點D的坐標，然后將點C和點D的坐標代入拋物線的解析式可求得b、c的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）設(shè)P（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-3），則PE=-t，EC=3=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t，然后依據(jù)拋物線的對稱性可求得EF=1-t，然后結(jié)合銳角函數(shù)的定義，將PE、PC、EF的長代入化簡即可求得答案；
（3）首先依據(jù)題意畫出圖形，然后MH⊥ON，垂足為H，接下來，證明△OEP≌△NHM，由全等三角形的性質(zhì)可知MH=PE，OE=NH，設(shè)OH=3k，則MH=4k，OM=5k，從而可求得點P的坐標（用含k的式子表示），將點P的坐標代入拋物線的解析式可求得k的值，從而得到點P的坐標．

解答 解：（1）∵OC=3，且點C在y軸的負半軸上，
∴C（0，-3）．
將點C（0，-3）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得：c=-3．
∵D點橫坐標為4，將x=4代入y=$\frac{3}{4}$x得：y=3，
∴D（4，3）．
∵將D（4，3）代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx-3得b=-$\frac{1}{2}$，
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-3．
（2）設(shè)P（t，$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-3），則PE=-t，EC=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t-3+3=$\frac{1}{2}$t²-$\frac{1}{2}$t．
∵拋物線的對稱軸為x=-$\frac{2a}$=$\frac{1}{2}$，
∴EF=1-t．
∴PE•tan∠ECF=-t•$\frac{1-t}{\frac{1}{2}{t}^{2}-\frac{1}{2}t}$=$\frac{t（t-1）}{\frac{1}{2}t（t-1）}$=2．
（3）如圖所示：MH⊥ON，垂足為H．

∵∠OMN+∠PON=180°，∠OMN+∠MON+∠MNO=180°，
∴∠PON=∠MON+∠MNO．
∴∠POM=∠ONM．
在△OEP和△NHM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠POM=∠ONM}\\{∠MHN=∠PEO}\\{MN=OP}\end{array}\right.$，
∴△OEP≌△NHM．
∴MH=PE，OE=NH．
∵∠DOB=∠OMH，直線ON的解析式為y=$\frac{3}{4}$x，
∴設(shè)OH=3k，則MH=PE=4k，OM=5k．
∵ON=2OM，
∴ON=10k，HN=7k．
∴OE=7k．
∴P（-4k，7k）．
將點P（-4k，7k）代入y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{1}{2}$x-3得：$\frac{1}{2}$×（-4k）2-$\frac{1}{2}×$（-4k）-3=7k，解得：k=1，k=-$\frac{3}{8}$（舍去）．
∴P（-4，7）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、拋物線的對稱性、全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的應(yīng)用，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，用含k的式子表示點P的坐標是解題的關(guān)鍵．