Question

在等邊△ABC中，點E在AB上，點D在CA的延長線上，且ED=EC．試探索以下問題：
（1）如圖1，當E為AB中點時，試確定線段AD與BE的大小關(guān)系，請你直接寫出結(jié)論：AD

 

BE；
（2）如圖2，若點E為線段AB上任意一點，（1）中結(jié)論是否成立，若成立，請證明結(jié)論，若不成立，請說明理由；
（3）若在等邊△ABC中，點E在直線AB上，點D在直線AC 上，且ED=EC，若等邊△ABC的邊長為2，AE=5，求CD的長．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：常規(guī)題型

分析：（1）由題意易得∠D=∠AED=30°，即可得AD=AE，再根據(jù)AE=BE，即可解題；
（2）通過作EF∥AC構(gòu)造等邊三角形把BE轉(zhuǎn)化為EF，再利用“角角邊”易證△AED≌△FCE，可得AD=FE，即可解題；
（3）由第（2）題結(jié)論易得CD=9或1．

解答：解：（1）AD=BE；
（2）過點E作EF∥AC交BC于點F，

∴∠EFB=∠ACB，∠BEF=∠BAC，∠FEC=∠ECA，
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACB=∠BAC=∠B=60°，
∴∠EFB=∠BEF=∠B=60°，
∴△BEF是等邊三角形，
∴BE=EF，
∵ED=EC，
∴∠D=∠ECA，
∴∠D=∠FEC，
∵∠BFE=∠BAC=60°，
∴∠EAD=∠CFE=120°，
在△AED和△FCE中，

∠D=∠FEC ∠EAD=∠CFE ED=EC

，
∴△AED≌△FCE（AAS），
∴AD=FE，
∴AD=BE；
（3）①
如圖，由上題結(jié)論得AD=BE，
∴AD=BE=7，
∴CD=9，
②
∵AD=BE=3
∴CD=1
綜上CD=9或1．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題中求證△AED≌△FCE是解題的關(guān)鍵．