【題目】如圖1,矩形鐵片ABCD的長為2a,寬為a; 為了要讓鐵片能穿過直徑為 的圓孔,需對鐵片進行處理(規(guī)定鐵片與圓孔有接觸時鐵片不能穿過圓孔);
(1)如圖2,M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點,若將矩形鐵片的四個角去掉,只余下四邊形MNPQ, ①則此時鐵片是什么形狀;
②給出證明,并通過計算說明此時鐵片都能穿過圓孔;

(2)如圖3,過矩形鐵片ABCD的中心作一條直線分別交邊BC、AD于點E、F(不與端點重合),沿著這條直線將矩形鐵片切割成兩個全等的直角梯形鐵片;
①當BE=DF= 時,判斷直角梯形鐵片EBAF能否穿過圓孔,并說明理由;
②為了能使直角梯形鐵片EBAF順利穿過圓孔,請直接寫出線段BE的長度的取值范圍.

【答案】
(1)①菱形,

②如圖,過點M作MG⊥NP于點G,

∵M、N、P、Q分別是AD、AB、BC、CD的中點,

∴△AMN≌△BPN≌△CPQ≌△DMQ,

∴MN=NP=PQ=QM,

∴四邊形MNPQ是菱形,

,

MN=

∴MG= ,

∴此時鐵片能穿過圓孔;


(2)①如圖,過點A作AH⊥EF于點H,過點E作EK⊥AD于點K,

顯然AB=

故沿著與AB垂直的方向無法穿過圓孔,

過點A作EF的平行線RS,故只需計算直線RS與EF之間的距離即可,

∵BE=AK= ,EK=AB=a,AF= ,

∴KF= ,EF= ,

∵∠AHF=∠EKF=90°,∠AFH=∠EFK,

∴△AHF∽△EKF,

,可得AH= ,

∴該直角梯形鐵片不能穿過圓孔;


【解析】(1)利用四條邊相等的四邊形為矩形來判定四邊形為菱形,然后利用面積相等來求得菱形一邊的高,與已知數(shù)據(jù)比較后判斷是否能通過.(2)利用兩三角形相似得到比例線段,進而求出點A到EF的距離,然后與已知線段比較,從而判定能否通過.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與圓的三種位置關系的相關知識,掌握直線與圓有三種位置關系:無公共點為相離;有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線;圓與直線有唯一公共點為相切,這條直線叫做圓的切線,這個唯一的公共點叫做切點,以及對相似三角形的判定與性質(zhì)的理解,了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.

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