Question

【題目】若拋物線L：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)且abc≠0）與直線l都經(jīng)過(guò)y軸上的同一點(diǎn)，且拋物線的頂點(diǎn)在直線l上，則稱拋物線L與直線l具有“一帶一路”關(guān)系，并且將直線1叫做拋物線L的“路線”，拋物線L叫做直線l的“帶線”

（1）若“路線”l的表達(dá)式為y=2x﹣4，它的“帶線”L的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，求“帶線”L的表達(dá)式；

（2）如果拋物線y=2x2﹣4x+1與直線y=nx+1具有“一帶一路”關(guān)系，如圖，設(shè)拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，其頂點(diǎn)為C．

①求△ABC的面積；

②在y軸上是否存在一點(diǎn)P，使S△PBC=S△ABC，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=2x2+4x﹣4；（2）①；②P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，）．

【解析】

（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；

（2）①根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得BC的解析式，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得B，A點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積的和差，可得答案；

②根據(jù)面積間的關(guān)系，可得關(guān)于n的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

（1）∵“帶線”L的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為﹣1，∴y=2×（﹣1）﹣4=﹣6，∴“帶線”L的頂點(diǎn)的（﹣1，﹣6），設(shè)L的解析式為y=a（x+1）2﹣6．

∵“路線”y=2x﹣4與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，﹣4）．

∵帶線”L也經(jīng)過(guò)（0，﹣4），將（0，﹣4）代入L的表達(dá)式，得：a=2，“帶線”L的表達(dá)式為y=2（x+1）2﹣6=2x2+4x﹣4；

（2）①y=2x2﹣4x+1=2（x﹣1）2﹣1其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，﹣1），直線y=nx+1經(jīng)過(guò)（1，﹣1），解得：n=﹣2，直線BC的解析式為y=﹣2x+1，當(dāng)y=0時(shí)，﹣2x+1=0，解得：x=，即D（，0），AD=1﹣=

當(dāng)x=0時(shí)，y=1，即B（0，1），當(dāng)y=0時(shí)，2x2﹣4x+1=0，解得：x=1，即A點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，0），∴S△ABC=AD（yB﹣yC）=××（1+1）=；

②如圖，設(shè)P（0，n），BP=|1﹣n|，由S△PBC=S△ABC，得：

|1﹣n|×1=×，化簡(jiǎn)得：1﹣n=，或n﹣1=

解得：n=或n=，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）或（0，）．