Question

【題目】已知，如圖拋物線y＝ax2+bx+c與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)．點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），B的坐標(biāo)為（1，0），且OC＝4OB．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D是線段AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，求三角形ACD面積的最大值；

（3）若點(diǎn)E在x軸上，點(diǎn)P在拋物線上．是否存在以A，C，E，P為頂點(diǎn)且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，直接寫(xiě)出P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+3x﹣4；（2）三角形ACD面積的最大值＝8；（3）存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是P1（﹣3，﹣4），P2（，4）和P3（，4）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），OC＝4OB可得出C點(diǎn)坐標(biāo)，再把A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求出a，b，c的值即可；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M，N，利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，故可得出DM＝（x＋2）2＋4，即可得出結(jié)論；

（3）①過(guò)點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形，根據(jù)PC兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；②平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC＝PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形，令P（x，4），由x2＋3x4＝4得出x的值即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解：（1）∵OC＝4OB，B（1，0），

∴C（0，﹣4），

把點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+c，得

解得：，

∴拋物線線的解析式為：y＝x2+3x﹣4；

（2）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點(diǎn)M，N．

∵A（﹣4，0），B的坐標(biāo)為（1，0），

∴AB＝5，

∴S△ACD＝DM×（AN+ON）＝DMOA＝2DM，

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b（k≠0），

∵A（﹣4，0），C（0，﹣4），

∴，解得，

故直線AC的解析式為：y＝﹣x﹣4．

令D（x，x2+3x﹣4），M（x，﹣x﹣4），則DM＝﹣x﹣4﹣（x2+3x﹣4）＝﹣（x+2）2+4，

當(dāng)x＝﹣2時(shí)，DM有最大值4，

故三角形ACD面積的最大值＝×4×4＝8；

（3）①如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CP1∥x軸交拋物線于點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)P1作P1E1∥AC交x軸于點(diǎn)E1，此時(shí)四邊形ACP1E1為平行四邊形．

∵C（0，﹣4），令x2+3x﹣4＝﹣4，

∴x＝0或x＝﹣3．

∴P1（﹣3，﹣4）．

②如圖3，平移直線AC交x軸于點(diǎn)E，交x軸上方的拋物線于點(diǎn)P，當(dāng)AC＝PE時(shí)，四邊形ACEP為平行四邊形，

∵C（0，﹣4），

∴可令P（x，4），由x2+3x﹣4＝4，得x2+3x﹣8＝0．

解得x＝或x＝．

此時(shí)存在點(diǎn)P2（，4）和P3（，4）．

綜上所述，存在3個(gè)點(diǎn)符合題意，坐標(biāo)分別是P1（﹣3，﹣4），P2（，4）和P3（，4）．